Решение Штакельберга-Слейтера статической иерархической игры в условиях неопределенности

Авторы
Файлы

Таpaканов А.Ф. Говоров А.Н. Статья в формате PDF 109 KB

Исследование иерархических игр – сравнительно новое направление общей теории игр.

В управляемых системах иерархическая структура – явление весьма частое. Примерами могут служить отношения начальника и подчинённого, министерства и предприятия. Анализ литературы показывает, что наиболее приемлемый путь решения возникающих здесь задач – построение позиционных стратегий игроков. Дополнительной особенностью является независимая активность подсистем нижнего уровня, которая приводит к появлению неопределённостей.

В настоящей работе изучается двухуровневая иерархическая статическая игра в условиях неопределённости, оптимизация ведётся на основе комбинированного принципа оптимальности Штакельберга- Слейтера. Согласно этому принципу, нижний уровень сообщает верхнему уровню (Центру) множество своих допустимых стратегий, а Центр в ответ формирует подмножество своих стратегий из условия максимума своего критерия. Затем нижний уровень максимизирует свой критерий. Таким образом, окончательное решение – за нижним уровнем. Такой принцип управления известен как децентрализованное управление.

Рассмотрим игру двух лиц в условиях неопределённости <{1,2},{X,Y},f(x,y)> . Здесь множество {1,2} – номера игроков, , (n=n₁+n₂)– множество ситуаций x =(x₁,x₂) игры, каждая из которых образуется соответствующими стратегиями игроков: x₁ € X₁C Rⁿ¹ – страте- гия игрока верхнего уровня (1-й игрок), x₂ € X₂ C Rⁿ² – стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок), X_i– компактное подмножество в Rⁿ¹, Y C Rⁿ³– множество неопределённостей, y € Y – неопределённость, функция выигрыша i-го игрока задана непрерывной на X^xY скалярной функцией f_i(x,y), вектор f(x,y)=(f₁(x,y), f₂(x,y)).

Цель i-го игрока – выбор такой стратегии, чтобы в ситуации x =(x₁, x₂) его выигрыш f_i(x,y) принял возможно большее значение. При этом каждый игрок при выборе своей стратегии ориентируется на возможность реализации наименее благоприятных для него значений неопределённости y € Y.

Правила игры следующие. Игроки настроены друг к другу доброжелательно. Пусть 2-й игрок информирует 1-го игрока о множестве X₂ своих допустимых стратегий. Тогда 1-й игрок в ответ на каждую стратегию x₂ € X₂ формирует подмножество стратегий из условия

Затем 2-й игрок максимизирует свой критерий. Таким образом, 2-й игрок принимает окончательное решение. Наконец, вычисляются значения функций выигрыша игроков. Игра заканчивается.

О п р е д е л е н и е. Тройку (x1* (x2*) x2* y*) назовём ситуацией равновесия Штакельберга-Слейтера в игре (1.1), если существует такое y* € Y , что выполнены следующие условия: ситуация удовлетворяет неравенству для всех неопределённость y* € Y минимальна по Слейтеру, т.е. несовместна система неравенств , i =1,2; y € Y .

Несовместность последней системы неравенств, что для любой неопределённости y € Y обе компоненты вектора где не могут быть одновременно меньше соответствующих компонент того же вектора при y=y*. В этом заключается смысл последнего вектора как векторной гарантии игроков. Исходная игра сведена к игре трёх лиц без неопределённости. Для квадратичного варианта игры получены достаточные условия оптимальности.

РОМАШОВ РОБЕРТ ВАСИЛЬЕВИЧ

Статья в формате PDF 174 KB...