ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t₀) = y₀, t₀ ≤ t ≤ t_k(1)

где y: [t₀, t_k] →R^N, f: [t₀, t_k]× R^N →R^N, [t₀, t_k] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

(2)

где y_js⁽ⁿ⁾ ∈ Comp(j), || δ_n||= 0.5h || f_{n + 1} - f_n || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ j_s ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в R^N , || δ_n||- норма вектора локальной погрешности, f_{n + 1} и f_n - значения правой части системы (1) соответственно в точках t _n+1 и t_n, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

(3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λ_max |≤ D, где | λ_max | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага h_n для схемы (2) определяется по формуле h_n = qh_n/1.1, где q = (ε /|| δ_n ||)^1/2, а для схемы (3) по формуле h_n = max(h_n, qh_n)/1.1, где q = (D / h_n |λ_max | )^1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты y_js⁽ⁿ⁾ распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), U_j ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага h_n и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются y_js^(n), т.е. решается задача U_j, вычисляется значение локальной нормы || δ_n ||_j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов f_js(y⁽ⁿ⁾ ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ ЗАКОНЫ И МЕХАНИЗМЫ ПРОИСХОДЯЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ПЛАНЕТЕ ЗЕМЛЯ, ВЫЗЫВАЮЩИХ ГЛОБАЛЬНОЕ ПОТЕПЛЕНИЕ, ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В НОВЫЙ ВИД, СМЕНУ ЦИВИЛИЗАЦИИ, ГЛОБАЛЬНОЕ ПОХОЛОДАНИЕ, А ЗАТЕМ – ОПТИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НОВОЙ ЖИЗНИ.

Статья в формате PDF 531 KB...

26 04 2024 14:58:20

Интенсивность липопероксидации при угнетении постоянного внутрисосудистого свертывания крови

Статья в формате PDF 118 KB...

25 04 2024 21:44:54

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ-АЛЬБОМ ПО ГИСТОЛОГИИ, ЧАСТЬ Ӏ, ӀӀ

Статья в формате PDF 230 KB...

24 04 2024 8:37:33

ОСОБЕННОСТИ НАРУШЕНИЙ В СИСТЕМЕ ИММУННОГО СТАТУСА ГОМЕОСТАЗА У ЛИЦ, СТРАДАЮЩИХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ЗАБОЛЕВАНИЕМ ОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ РТУТЬСОДЕРЖАЩИХ СОЕДИНЕНИЙ

Статья в формате PDF 111 KB...

23 04 2024 19:52:34

АРХИТЕКТУРНОЕ ОСВОЕНИЕ АКВАТОРИИ С УЧЕТОМ ПРИРОДНОКЛИМАТИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ (НА ПРИМЕРЕ АЭРОПОРТА

Статья в формате PDF 129 KB...

22 04 2024 22:53:28

ВЛИЯНИЕ НИЗКОИНТЕНСИВНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ ЗДОРОВЬЯ ДЕТЕЙ

Проблема формирования здоровья детей в дошкольных образовательных учреждениях (ДОУ) остаётся актуальной до сих пор. На основе применения низкоинтенсивного лазерного излучения ( НИЛИ) были разработаны способы низкоинтенсивной лазерной реабилитации (НИЛР). В результате НИЛР детей достигались снижение показателей респираторной заболеваемости, экстренной медицинской помощи, госпитализации, временной утраты трудоспособности родителей. Рост среднего показателя здоровья и показателя динамичности здоровья отражали повышение уровня здоровья детей. НИЛР доступна, эффективна и безопасна. ...

21 04 2024 20:17:41

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛЕЧЕНИЯ АМБЛИОПИИ

Статья в формате PDF 116 KB...

20 04 2024 23:18:59

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПИТЬЕВОЙ ВОДЫ В РАЗЛИЧНЫХ ИСТОЧНИКАХ Г.О. ШУЯ

Статья в формате PDF 300 KB...

19 04 2024 8:16:21

РЕГУЛИРУЕМЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИВОД ДЛЯ ТРАНСПОРТНОЙ МАШИНЫ

Статья в формате PDF 104 KB...

18 04 2024 10:33:34

БРОНХИАЛЬНАЯ АСТМА В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ ВРАЧЕЙ НА ЦИКЛАХ ТЕМАТИЧЕСКОГО УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ

Статья в формате PDF 195 KB...

17 04 2024 16:57:57

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В РЕГИОНЕ

Статья в формате PDF 242 KB...

16 04 2024 18:17:26

Морфология кожи при воздействии микроволн термогенной интенсивности

Статья в формате PDF 115 KB...

15 04 2024 2:21:52

КИТАЙСКИЙ ЯЗЫК – ЯЗЫК БУДУЩЕГО

Статья в формате PDF 250 KB...

14 04 2024 14:55:15

ОКСИД АЗОТА И СУЛЬФГИДРИЛЬНЫЕ ГРУППЫ В МЕХАНИЗМАХ РАЗВИТИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОЖОГА

Статья в формате PDF 245 KB...

13 04 2024 7:13:38

ФРЕЗЕРОВАНИЕ: ОПАСНОСТИ И ВРЕДНЫЕ ФАКТОРЫ

Статья в формате PDF 253 KB...

12 04 2024 21:37:15

КАЧЕСТВО РАСПОЗНАВАНИЯ РОЖИ: КЛИНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, СТРАТЕГИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

Статья в формате PDF 140 KB...

11 04 2024 22:13:56

ФЕРМЕНТНЫЕ ПРЕПАРАТЫ ИЗ ВНУТРЕННОСТЕЙ ПРУДОВЫХ РЫБ

Статья в формате PDF 259 KB...

10 04 2024 7:18:41

РАЗРАБОТКА КОМБИНИРОВАННЫХ БИОПРОДУКТОВ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО НАЗНАЧЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ СЫРЬЯ И ЭКСТРУЗИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Статья в формате PDF 59 KB...

09 04 2024 8:31:56

РОЛЬ И МЕСТО ПРЕПАРАТА "БРОМЕНВАЛ" В КОМПЛЕКСНОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ НЕВРОЛОГИЧЕСКИХ БОЛЬНЫХ

Статья в формате PDF 100 KB...

08 04 2024 12:29:26

Регенерация адсорбентов от ионов свинца после сорбционной доочистка сточных вод

Статья в формате PDF 108 KB...

07 04 2024 11:41:52

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИГАТЕЛЕЙ ДЛЯ ГРУЗОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ

Статья в формате PDF 414 KB...

06 04 2024 21:45:32

НОВЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ПРИРОДЫ ТЕРРОРИЗМА

Статья в формате PDF 136 KB...

05 04 2024 12:39:18

КИНОСЕМАНТИКА ИЛИ МОНТАЖНАЯ СХЕМА «ВПЕЧАТЛЕНИЙ»

Статья в формате PDF 109 KB...

04 04 2024 10:39:44

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ РИСКОВ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ

Статья в формате PDF 111 KB...

03 04 2024 23:25:18

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУЧНОМ ОБЩЕСТВЕ УЧАЩИХСЯ

Статья в формате PDF 141 KB...

02 04 2024 18:50:57

НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ ОБЪЕМНОГО 3D МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Статья в формате PDF 284 KB...

01 04 2024 18:26:25

ДЕФИЦИТ ЙОДА В РОЛИ ГЛОБАЛЬНОГО ИНДИКАТОРА ЗДОРОВЬЯ

Риск развития заболевания может оцениваться по показателям на уровне, хаpaктеризующем хронические пороговые эффекты. Исходя из этих данных, в качестве «индикаторных» состояний выделяется пониженное/повышенное содержание йода в организме обследуемого. В качестве «индикаторных» точек в концепции HEADLAMP для подтверждения заболеваний, хаpaктеризующих эффект недостатка йода в организме, могут выступать изменения в щитовидной железе на субклиническом уровне. Указанные параметры можно оценить на уровне лабораторной базы первичной медико-санитарной помощи при обследованиях населения. Цель HEADLAMP в оценке связи состояния здоровья населения с действием факторов окружающем среды значительно упростить и ускорить обоснованность выбора управленческих решений. ...