ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ tk (1)

где y: [t0, tk] →RN, f: [t0, tk]× RN →RN, [t0, tk] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

 (2)

где yjs(n) ∈ Comp(j), || δn ||= 0.5h || fn + 1 - fn || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ js ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в RN , || δn ||- норма вектора локальной погрешности, fn + 1 и fn - значения правой части системы (1) соответственно в точках t n+1 и tn, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

 (3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λmax |≤ D, где | λmax | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага hn для схемы (2) определяется по формуле hn = qhn/1.1, где q = (ε /|| δn ||)1/2, а для схемы (3) по формуле hn = max(hn, qhn)/1.1, где q = (D / hnmax | )1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты yjs(n) распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), Uj ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага hn и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются yjs(n), т.е. решается задача Uj, вычисляется значение локальной нормы || δn ||j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов fjs(y(n) ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

  1. Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
  2. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
  3. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
  4. Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.


ВАСИЛЬЕВА ГАЛИНА ИВАНОВНА

ВАСИЛЬЕВА ГАЛИНА ИВАНОВНА Статья в формате PDF 89 KB...

25 06 2026 10:58:52

ФРАКТАЛЬНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ СИСТЕМ

ФРАКТАЛЬНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ СИСТЕМ Статья в формате PDF 315 KB...

24 06 2026 23:38:19

О МОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТКАХ В ИЕРАРХИИ СТРАТ

О МОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТКАХ В ИЕРАРХИИ СТРАТ Статья в формате PDF 139 KB...

22 06 2026 12:10:56

ПУТИ ЗАЩИТЫ ОТ ВИБРАЦИИ

ПУТИ ЗАЩИТЫ ОТ ВИБРАЦИИ Статья в формате PDF 87 KB...

21 06 2026 6:16:57

АНАТОМИЯ ЭМОЦИОНАЛЬНОГО МОЗГА

АНАТОМИЯ ЭМОЦИОНАЛЬНОГО МОЗГА Статья в формате PDF 153 KB...

18 06 2026 0:18:18

УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ БЛОЧНО-МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ БЛОЧНО-МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ Статья в формате PDF 157 KB...

17 06 2026 16:10:18

СКОРОСТНОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МЕТАЛЛА

СКОРОСТНОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МЕТАЛЛА Статья в формате PDF 138 KB...

12 06 2026 10:17:20

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ Школьная научно-исследовательская деятельность – это сочетание приемов и методов, направленных на решение актуальных проблем, которые служат активизации познавательной деятельности учащихся. Научно-исследовательская работа учащихся – это пpaктическая работа поискового хаpaктера, которая способствует расширению знаний учащихся, развитию их пpaктических умений. В процессе создания естественнонаучных проектов у школьников возрастает познавательный интерес к общим законам природы, стремление к приобретению обширных знаний, обогащается умственная деятельность учащихся, развивается умение мыслить творчески. ...

11 06 2026 22:10:45

СВОЙСТВА КРУГА ЛАГИРА

СВОЙСТВА КРУГА ЛАГИРА Статья в формате PDF 555 KB...

10 06 2026 20:10:45

СОЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ВИЧ-ИНФЕКЦИЕЙ

СОЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ВИЧ-ИНФЕКЦИЕЙ Статья в формате PDF 112 KB...

28 05 2026 22:23:17

ПРАКТИКУМ ПО НАЛОГОВЫМ РАСЧЕТАМ (учебное пособие)

ПРАКТИКУМ ПО НАЛОГОВЫМ РАСЧЕТАМ (учебное пособие) Статья в формате PDF 79 KB...

24 05 2026 9:40:37

ВАХТИНА ЕЛЕНА АРТУРОВНА

ВАХТИНА ЕЛЕНА АРТУРОВНА Статья в формате PDF 292 KB...

23 05 2026 3:53:44

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::