ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t₀) = y₀, t₀ ≤ t ≤ t_k(1)

где y: [t₀, t_k] →R^N, f: [t₀, t_k]× R^N →R^N, [t₀, t_k] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

(2)

где y_js⁽ⁿ⁾ ∈ Comp(j), || δ_n||= 0.5h || f_{n + 1} - f_n || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ j_s ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в R^N , || δ_n||- норма вектора локальной погрешности, f_{n + 1} и f_n - значения правой части системы (1) соответственно в точках t _n+1 и t_n, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

(3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λ_max |≤ D, где | λ_max | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага h_n для схемы (2) определяется по формуле h_n = qh_n/1.1, где q = (ε /|| δ_n ||)^1/2, а для схемы (3) по формуле h_n = max(h_n, qh_n)/1.1, где q = (D / h_n |λ_max | )^1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты y_js⁽ⁿ⁾ распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), U_j ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага h_n и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются y_js^(n), т.е. решается задача U_j, вычисляется значение локальной нормы || δ_n ||_j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов f_js(y⁽ⁿ⁾ ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРОЕНИЯ УГОЛЬНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ С ЦЕЛЬЮ ОБОСНОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ИХ РАЗРАБОТКИ

Статья в формате PDF 109 KB...

01 07 2026 2:46:16

ОСОБЕННОСТИ РЕЛАКСАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКИ ПРИ ФИЗИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Статья в формате PDF 110 KB...

30 06 2026 0:53:28

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ И ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ОСНАСТКИ ПРИ ФОРМООБРАЗОВАНИИ ДЕТАЛЕЙ

Статья в формате PDF 100 KB...

29 06 2026 21:31:22

Морфологические изменения структур продолговатого мозга и внутрисердечных автономных ганглиев у растущих крыс под воздействием иммобилизационного стресса

Статья в формате PDF 114 KB...

28 06 2026 0:23:33

ТРИМЕТИЛГИДРАЗИНИЯ ПРОПИОНАТ В КОМПЛЕКСНОЙ ТЕРАПИИ БОЛЬНЫХ ИНФАРКТОМ МИОКАРДА: КОНЕЧНЫЕ ТОЧКИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Статья в формате PDF 84 KB...

27 06 2026 10:45:20

Теоретическое обоснование основных положений динамической теории эволюции функциональных биологических систем и первые результаты ее пpaктического применения

Статья в формате PDF 123 KB...

26 06 2026 0:37:55

ВАСИЛЬЕВА ГАЛИНА ИВАНОВНА

Статья в формате PDF 89 KB...

25 06 2026 10:58:52

ФРАКТАЛЬНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ СИСТЕМ

Статья в формате PDF 315 KB...

24 06 2026 23:38:19

ЭКСПРЕССДИАГНОСТИКА СОСТОЯНИЯ ЗДОРОВЬЯ И ТРУДОСПОСОБНОСТИ ЧЕЛОВЕКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 119 KB...

23 06 2026 1:50:27

О МОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТКАХ В ИЕРАРХИИ СТРАТ

Статья в формате PDF 139 KB...

22 06 2026 12:10:56

ПУТИ ЗАЩИТЫ ОТ ВИБРАЦИИ

Статья в формате PDF 87 KB...

21 06 2026 6:16:57

АНТИОКСИДАНТНАЯ СИСТЕМА ЭРИТРОЦИТОВ У БОЛЬНЫХ ЛЕПТОСПИРОЗОМ ПРИ ЛЕЧЕНИИ МЕТОДОМ НЕПРЯМОГО ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОГО ОКИСЛЕНИЯ КРОВИ

Статья в формате PDF 121 KB...

20 06 2026 16:13:46

ИЗМЕНЕНИЯ САРКОМЕРОВ ПОПЕРЕЧНОПОЛОСАТОЙ МЫШЕЧНОЙ ТКАНИ ПРИ СОЧЕТАНИИ ДВИГАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ И КОМБИНИРОВАННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ МИКРОВОЛН И РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 124 KB...

19 06 2026 6:25:46

АНАТОМИЯ ЭМОЦИОНАЛЬНОГО МОЗГА

Статья в формате PDF 153 KB...

18 06 2026 0:18:18

УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ БЛОЧНО-МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 157 KB...

17 06 2026 16:10:18

МАРКЕТИНГОВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕКРЕАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ КАВКАЗСКИЕХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОД И ПЕРСПЕКТИВЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 123 KB...

16 06 2026 18:36:58

ПРИМЕНЕНИЕ НАНОТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ ЛЕЧЕНИЯ ОТРАВЛЕНИЙ СВИНЦОМ

Статья в формате PDF 276 KB...

15 06 2026 5:52:17

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ РЕАЛИЗАЦИИ МОДАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ОДНОСОСТАВНЫХ ДЕБИТИВНЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЯХ

Статья в формате PDF 141 KB...

14 06 2026 16:53:32

ИННОВАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ (методические рекомендации для преподавателей)

Статья в формате PDF 125 KB...

13 06 2026 23:49:32

СКОРОСТНОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МЕТАЛЛА

Статья в формате PDF 138 KB...

12 06 2026 10:17:20

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ПРОЕКТЫ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

Школьная научно-исследовательская деятельность – это сочетание приемов и методов, направленных на решение актуальных проблем, которые служат активизации познавательной деятельности учащихся. Научно-исследовательская работа учащихся – это пpaктическая работа поискового хаpaктера, которая способствует расширению знаний учащихся, развитию их пpaктических умений. В процессе создания естественнонаучных проектов у школьников возрастает познавательный интерес к общим законам природы, стремление к приобретению обширных знаний, обогащается умственная деятельность учащихся, развивается умение мыслить творчески. ...