ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t₀) = y₀, t₀ ≤ t ≤ t_k(1)

где y: [t₀, t_k] →R^N, f: [t₀, t_k]× R^N →R^N, [t₀, t_k] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

(2)

где y_js⁽ⁿ⁾ ∈ Comp(j), || δ_n||= 0.5h || f_{n + 1} - f_n || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ j_s ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в R^N , || δ_n||- норма вектора локальной погрешности, f_{n + 1} и f_n - значения правой части системы (1) соответственно в точках t _n+1 и t_n, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

(3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λ_max |≤ D, где | λ_max | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага h_n для схемы (2) определяется по формуле h_n = qh_n/1.1, где q = (ε /|| δ_n ||)^1/2, а для схемы (3) по формуле h_n = max(h_n, qh_n)/1.1, где q = (D / h_n |λ_max | )^1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты y_js⁽ⁿ⁾ распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), U_j ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага h_n и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются y_js^(n), т.е. решается задача U_j, вычисляется значение локальной нормы || δ_n ||_j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов f_js(y⁽ⁿ⁾ ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА УЧЁТА ЗНАНИЙ: ПРОБЛЕМЫ ВНЕДРЕНИЯ

Статья в формате PDF 323 KB...

21 07 2026 10:54:33

О ВОЗМОЖНОСТЯХ КОМПЬЮТЕРНОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ МЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ В ПРОГРАММЕ MEVISLAB

Статья в формате PDF 507 KB...

20 07 2026 9:54:11

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ В МЕЖСИСТЕМНОМ КОМПЛЕКСЕ «ОБЩЕСТВО–ПРИ¬РОДА»

Статья в формате PDF 129 KB...

19 07 2026 1:49:19

ПРОБЛЕМА УСПЕШНОСТИ ПРОЦЕССА АДАПТАЦИИ УЧАЩЕГОСЯ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ШКОЛЫ

Статья в формате PDF 122 KB...

18 07 2026 10:33:36

ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ МИКРОЦИРКУЛЯТОРНОГО РУСЛА

Статья в формате PDF 255 KB...

17 07 2026 21:34:59

Роль одежды кандидата на вакантное место во время собеседования

Статья в формате PDF 265 KB...

16 07 2026 10:37:19

Мониторинг почв в районе размещения предприятия атомной промышленности

Статья в формате PDF 115 KB...

15 07 2026 12:41:38

ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КЛАДОК НА ЕСТЕСТВЕННЫХ ЗАПОЛНИТЕЛЯХ В МАЛОЭТАЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Статья в формате PDF 275 KB...

14 07 2026 0:24:11

ПСИХОФАРМАКОТЕРАПИЯ У ДЕТЕЙ

Статья в формате PDF 240 KB...

13 07 2026 11:25:31

О РЕГИОНАЛЬНОЙ СПЕЦИФИКЕ КУЛЬТА ДЕМОНОВ СОВРЕМЕННОГО ТАЙВАНЯ

Статья в формате PDF 218 KB...

12 07 2026 0:24:24

НУЖНА ЛИ ИНТЕГРАЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ И АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ В КУРСЕ ФИЗИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ?

Статья в формате PDF 249 KB...

11 07 2026 3:34:37

ЗДОРОВЬЕ И ФИЗИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ В ТЮМЕНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ АКАДЕМИИ

Статья в формате PDF 115 KB...

10 07 2026 15:56:55

МОДЕЛИ ИННОВАЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ СОЦИОСФЕРНОГО РАЗВИТИЯ

Статья в формате PDF 301 KB...

09 07 2026 16:50:22

ИММУНОКОРРЕКЦИОННЫЙ ЭФФЕКТ НИЗКОИНТЕНСИВНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ У БОЛЬНЫХ ПАРАТРАВМАТИЧЕСКОЙ ЭКЗЕМОЙ

Статья в формате PDF 131 KB...

08 07 2026 6:38:17

КАЧЕСТВЕННОЕ И КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕЛКА В ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ДОБАВКЕ ИЗ СКОРЦОНЕРА ИСПАНСКОГО

Статья в формате PDF 124 KB...

07 07 2026 7:11:48

ГРИБЫ РОДА RUSSULA НА ТЕРРИТОРИИ НАЦИОНАЛЬНОГО ПАРКА «РУССКИЙ СЕВЕР» (ВОЛОГОДСКАЯ ОБЛАСТЬ)

Статья в формате PDF 266 KB...

06 07 2026 16:30:43

СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ СЕМЕННОЙ ПРОДУКТИВНОСТИ БОБОВЫХ КУЛЬТУР В УСЛОВИЯХ ЮГА ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

Статья в формате PDF 282 KB...

05 07 2026 4:32:55

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ГИДРОГРАФО – ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ МОРСКИХ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫХ РАБОТ

В статье обсуждаются последние достижения технологий гидрографических и геодезических съемок, таких как дифференциальная система GPS/ГЛОНАСС субметровой точности определения положения на поверхности моря, интегрированная DGPS с гидроакустической системой HPR для определения положения под водой, многолучевые эхолоты, гидролокаторы бокового обзора; морские датчики движения, специально разработанные для высокоточного измерения перемещений в море для пользователей, требующих высокой точности измерений дифферента, крена и перемещений по высоте. Аэролазерная батиметрия имеет значительный потенциал для замены эхолота при измерении глубин. Отмечено, что ROV (буксируемые подводные аппараты) и AUV (автономные подводные аппараты) становятся технически и экономически более выгодной платформой для съемки в специальных применениях и в будущем станут широко использующейся техникой. ...

04 07 2026 17:27:53

ПРИМЕНЕНИЕ ОЗОНОТЕРАПИИ В ЛЕЧЕНИИ ХРОНИЧЕСКОГО НЕСПЕЦИФИЧЕСКОГО ПРОСТАТИТА

Статья в формате PDF 99 KB...

03 07 2026 13:20:40

О ФИЗИОЛОГИИ РАЗВИТИЯ ЛИМФАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Лимфатическая система с момента закладки является частью единой сердечно-сосудистой системы и образуется в эмбриогенезе путем выключения части первичных вен и их притоков с эндотелиальными стенками из кровотока. Неравномерный рост первичного лимфатического русла с эндотелиальными стенками, в т.ч. путем его частичной магистрализации и редукции, лежит в основе морфогенеза вариабельной дефинитивной лимфатической системы у плодов в прямой связи с закладкой лимфатических узлов. ...

02 07 2026 17:43:46

К ВОПРОСУ О АРТЕРИАЛЬНОМ ДАВЛЕНИИ И СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТЫХ ОСЛОЖНЕНИЯХ. ЧАСТЬ 3

Статья в формате PDF 251 KB...

01 07 2026 15:40:54

СТАНДАРТИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОЙ РЕКЛАМЫ

Статья в формате PDF 182 KB...

30 06 2026 9:12:28

НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОЦЕНКИ РЕПАРАТИВНОЙ РЕГЕНЕРАЦИИ ПРИ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНИ

Статья в формате PDF 98 KB...

29 06 2026 9:11:21

ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ КРУПНЫХ РЕК

Приведены методы ранжирования и рангового моделирования гидрологических параметров у множества крупных рек Земли по примеру статистических данных из учебника. ...

28 06 2026 5:41:49

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ ХИМИИ

Статья в формате PDF 251 KB...

27 06 2026 8:14:40

КУЛЬТУРНЫЙ ОБРАЗ ЯПОНИИ В МЕЖКУЛЬТУРНОЙ КОММУНИКАЦИИ

Статья в формате PDF 250 KB...

26 06 2026 20:31:21

ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА НАПРАВЛЕННОЙ ТКАНЕВОЙ РЕГЕНЕРАЦИИ У ПАЦИЕНТОВ С ЛОКАЛИЗОВАННЫМ ПАРОДОНТИТОМ СРЕДНЕЙ СТЕПЕНИ ТЯЖЕСТИ

Статья в формате PDF 103 KB...

25 06 2026 2:12:13

СОЦИАЛЬНАЯ РАБОТА КАК ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТ СОЦИАЛИЗАЦИИ В РОССИИ

Сложность современной социально-экономической жизни России при переходе от социализации к рыночным отношениям. Необходимы особые инструменты для социализации общества к новым условиям жизни. Развитие теоретико-методологического инструментария социальной работы для дальнейшей социализации российского общества. Взаимодействие социальной работы и философии хозяйства при социализации. ...