ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.
В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].
Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка
y′ = f(y), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ tk (1)
где y: [t0, tk] →RN, f: [t0, tk]× RN →RN, [t0, tk] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]
(2)
где yjs(n) ∈ Comp(j), || δn ||= 0.5h || fn + 1 - fn || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ js ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в RN , || δn ||- норма вектора локальной погрешности, fn + 1 и fn - значения правой части системы (1) соответственно в точках t n+1 и tn, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид
(3)
Неравенство для оценки устойчивости h | λmax |≤ D, где | λmax | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага hn для схемы (2) определяется по формуле hn = qhn/1.1, где q = (ε /|| δn ||)1/2, а для схемы (3) по формуле hn = max(hn, qhn)/1.1, где q = (D / hn |λmax | )1/2 .
Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты yjs(n) распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), Uj ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага hn и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются yjs(n), т.е. решается задача Uj, вычисляется значение локальной нормы || δn ||j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов fjs(y(n) ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.
Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.
Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.
Список литературы
- Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
- Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
- Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
- Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.
Статья в формате PDF
132 KB...
02 05 2026 13:10:55
Статья в формате PDF
102 KB...
01 05 2026 18:56:27
Статья в формате PDF
248 KB...
30 04 2026 8:41:38
Статья в формате PDF
109 KB...
29 04 2026 13:52:31
Статья в формате PDF
136 KB...
28 04 2026 16:45:40
Статья в формате PDF
132 KB...
27 04 2026 1:58:34
Статья в формате PDF
137 KB...
26 04 2026 15:51:44
Статья в формате PDF
111 KB...
25 04 2026 3:21:45
Статья в формате PDF
109 KB...
24 04 2026 8:29:47
Статья в формате PDF
122 KB...
23 04 2026 1:46:42
Статья в формате PDF
335 KB...
22 04 2026 6:28:54
Статья в формате PDF
244 KB...
20 04 2026 22:15:43
Статья в формате PDF
120 KB...
19 04 2026 16:55:52
Статья в формате PDF
142 KB...
18 04 2026 5:44:24
Статья в формате PDF
171 KB...
17 04 2026 6:41:31
Статья в формате PDF
121 KB...
16 04 2026 12:48:46
Статья в формате PDF
149 KB...
15 04 2026 15:55:27
Статья в формате PDF
298 KB...
14 04 2026 3:13:52
Статья в формате PDF
114 KB...
13 04 2026 17:33:17
Статья в формате PDF
329 KB...
11 04 2026 17:57:29
Статья в формате PDF
245 KB...
10 04 2026 1:36:15
Статья в формате PDF
113 KB...
09 04 2026 6:13:46
Статья в формате PDF
300 KB...
08 04 2026 20:47:30
Статья в формате PDF
142 KB...
07 04 2026 4:45:51
Статья в формате PDF
224 KB...
04 04 2026 7:52:45
Статья в формате PDF
201 KB...
03 04 2026 2:17:22
Статья в формате PDF
82 KB...
01 04 2026 9:39:27
Статья в формате PDF
128 KB...
31 03 2026 0:55:52
Статья в формате PDF
111 KB...
30 03 2026 5:49:19
Статья в формате PDF
134 KB...
29 03 2026 4:36:14
Статья в формате PDF
115 KB...
28 03 2026 10:21:18
Рассмотрена экономико-математическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке сбыта. Приводится формулировка соответствующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику развития системы, которая может быть легко обобщена на случай произвольного количества конкурирующих предприятий. Дана экономическая интерпретация полученных результатов.
...
27 03 2026 0:30:28
Статья в формате PDF
277 KB...
25 03 2026 22:48:24
Статья в формате PDF
528 KB...
24 03 2026 4:48:23
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
