ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Авторы
Файлы

Федюнина М.А. Статья в формате PDF 1190 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l₀ (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

(1)

здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.

(2)

Здесь - скорость материальной точки,

где тогда

(3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

(4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

(5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x² + y² + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

l₀ + rφ > 0 или (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

(7)

где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

Тогда значение силы N будет равно

(8)

где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

С учетом соотношений (2) и (3), получим

Данное выражение можно привести к виду

(9)

где

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

(10)

где

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

Согласно выражению (3) получим

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l₀ = π r, т.е. α_кр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

(11)

где

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

или

При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАРШРУТОВ ТРАНСПОРТИРОВКИ УДОБРЕНИЙ СО СТАНЦИИ КЕМЕРОВО В ПОРТ ЧЕННАЙ

Статья в формате PDF 254 KB...

17 06 2026 5:59:29

ЭКСПРЕССИЯ ТИРЕОИДНОГО ФАКТОРА ТРАНСКРИПЦИИ В НЕЙРОЭНДОКРИННЫХ ОПУХОЛЯХ ЛЕГКИХ

Статья в формате PDF 117 KB...

16 06 2026 17:39:19

ЗДОРОВЬЕ СТУДЕНТА И ПУТИ ЕГО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ (методическое пособие)

Статья в формате PDF 107 KB...

15 06 2026 23:11:43

ГИСТОХИМИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТКАНЕЙ ПАХОВОГО КАНАЛА ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ КРИПТОРХИЗМЕ В СТРУКТУРЕ НЕДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ ДИСПЛАЗИИ СОЕДИНИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ

Статья в формате PDF 123 KB...

14 06 2026 22:30:27

Особенности образа жизни и показатели здоровья Долгожителей предгорных районов Северного Кавказа

Статья в формате PDF 111 KB...

13 06 2026 5:50:23

ВЛИЯНИЕ ВОДЫ И КИСЛОРОДА НА СОСТАВ ПРОДУКТОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПИРОЛИЗА ДРЕВЕСИНЫ

Статья в формате PDF 136 KB...

12 06 2026 21:16:28

МОРФОКОЛИЧЕСТВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ИЗМЕНЕНИЙ НЕРВНЫХ ПРОВОДНИКОВ КОЖИ РАЗЛИЧНОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ПРИ ДЕЙСТВИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Статья в формате PDF 109 KB...

11 06 2026 20:19:23

МОРФОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МИКРОЦИРКУЛЯТОРНОГО РУСЛА ПРИ РЕЦИДИВАХ ТРАВМАТИЧЕСКИХ НОСОВЫХ КРОВОТЕЧЕНИЯХ

Статья в формате PDF 196 KB...

10 06 2026 20:36:52

К ПРОБЛЕМЕ КАДРОВОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

В статье рассматривается один из вариантов решения проблемы трудовых ресурсов для России. Эта проблема в силу демографического спада и пpaктиковавшейся не одно десятилетие порочной пpaктики монопсонии¸ как государственной доктрины стала очень острой. Описывается процесс распределения нагрузки в процессе освоения массовых рабочих профессий с учетом психологических и психофизиологических особенностей обучаемого на основе базовой системы микроэлементного нормирования. ...

09 06 2026 20:43:25

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ АНТРОПОГЕННОЙ НАГРУЗКИ НА ЛАНДШАФТЫ СРЕДНЕГО ТЕЧЕНИЯ РЕКИ СЕХИ

Статья в формате PDF 292 KB...

08 06 2026 20:40:52

ЭТАПЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ГЕНИАЛЬНОГО РУССКОГО ХИРУРГА Н.И. ПИРОГОВА

Статья в формате PDF 263 KB...

07 06 2026 8:53:25

РАЗВИТИЕ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ПОДХОДА К ПРИМЕНЕНИЮ МЕТОДА ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА (ЯМР)

Статья в формате PDF 147 KB...

06 06 2026 6:40:19

ФИЛЬТРАЦИЯ НАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ СРЕДУ

Статья в формате PDF 94 KB...

05 06 2026 18:20:14

МЕДИКО-ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАСТЕНИЙ В ЛАНДШАФТНОМ ОБУСТРОЙСТВЕ ТЕРРИТОРИЙ РЕКРЕАЦИОННОЙ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ

Статья в формате PDF 97 KB...

04 06 2026 9:24:52

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОЯСНИЧНОГО ОТДЕЛА ПОЗВОНОЧНИКА У ПАЦИЕНТОВ С БОЛЬЮ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ СПИНЫ

Статья в формате PDF 105 KB...

03 06 2026 10:11:55

ФОРМИРОВАНИЕ СОВРЕМЕННОЙ ИНТЕЛЛИГЕНЦИИ В УСЛОВИЯХ СТАНОВЛЕНИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ

В настоящее время одной из наиболее обсуждаемых является тема воздействия интеллигенции на общественно-экономическую жизнь. Интеллигенция, являясь наиболее образованной группой общества, является монополистом в области на духовного и интеллектуального производства. По мере ускорения научно-технического прогресса данная тенденция усиливается. ...