ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.
Рис. 1. Расчетная схема
В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .
Дифференциального уравнения движения
(1)
здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.
(2)
Здесь - скорость материальной точки,
где тогда
(3)
Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза
(4)
Начальные условия для уравнения (4) имеют вид
(5)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие
l0 + rφ > 0 или (6)
которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.
С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде
(7)
где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,
Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:
Тогда значение силы N будет равно
(8)
где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии
.
С учетом соотношений (2) и (3), получим
Данное выражение можно привести к виду
(9)
где
Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде
(10)
где
Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.
Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки
Согласно выражению (3) получим
Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным
φ = 0,2πn; n ∈ N.
График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.
Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:
(11)
где
.
Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали
При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:
или
При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
Статья в формате PDF
119 KB...
18 04 2026 23:21:16
Статья в формате PDF
110 KB...
17 04 2026 11:15:19
Статья в формате PDF
165 KB...
16 04 2026 22:15:41
Статья в формате PDF
112 KB...
15 04 2026 14:34:22
Статья в формате PDF
119 KB...
14 04 2026 10:54:46
Статья в формате PDF
97 KB...
13 04 2026 7:16:10
Статья в формате PDF
111 KB...
12 04 2026 4:35:36
Статья в формате PDF
123 KB...
11 04 2026 22:48:16
Статья в формате PDF
132 KB...
10 04 2026 0:14:14
Статья в формате PDF
276 KB...
09 04 2026 7:41:32
Статья в формате PDF
131 KB...
08 04 2026 4:49:29
Статья в формате PDF
110 KB...
06 04 2026 16:38:27
Статья в формате PDF
118 KB...
04 04 2026 8:15:28
Статья в формате PDF
138 KB...
01 04 2026 18:16:36
В работе приведены результаты применения ГИС технологий в различном масштабе для анализа структуры растительности и влияние антропогенной нагрузки на параметры растительного покрова регионов, в целом, и отдельных сообществ Якутии, в частности. Примененные подходы могут быть использованы в различном масштабе для анализа степени антропогенного пресса территорий и анализа растительности.
...
31 03 2026 23:51:17
Статья в формате PDF
118 KB...
30 03 2026 3:23:45
Статья в формате PDF
137 KB...
29 03 2026 3:31:29
Статья в формате PDF
108 KB...
28 03 2026 12:36:19
Морфогенез лимфатической системы является результатом взаимодействия сосудов разного типа, растущих неравномерно. Его формы меняются так же, как строение и топография сосудов, их сочетания в связи с органогенезом. Поэтому морфогенез лимфатической системы протекает как процесс рекомбинации артерий и вен, а затем и лимфатических сосудов, служит проявлением самодифференциации сердечно-сосудистой системы, когда ее части вступают в повторное взаимодействие, в т.ч. и после их трaнcформации.
...
27 03 2026 2:47:34
Статья в формате PDF
135 KB...
26 03 2026 15:57:54
Статья в формате PDF
123 KB...
25 03 2026 12:53:39
Статья в формате PDF
117 KB...
24 03 2026 18:33:50
Статья в формате PDF
116 KB...
23 03 2026 3:12:53
К настоящему времени геофизика накопила о магнетизме Земли огромную информацию, большая часть которой получена в новейший период исследований космического прострaнcтва путём непосредственных инструментальных исследований с помощью космических летательных аппаратов, но построить на традиционных теоретических основаниях общепризнанную теорию о происхождении магнетизма Земли пока не удавалось никому [1].
Учитывая продуктивность магнитодинамического взгляда ряда фундаментальных проблем физики и многочисленных технических задач [2], можно надеяться на аналогичную продуктивность при рассмотрении некоторых из многочисленных аспектов фундаментальной проблемы стационарного геомагнетизма, среди которых первичной представляется его происхождение.
...
22 03 2026 8:59:18
Статья в формате PDF
141 KB...
21 03 2026 10:17:26
Статья в формате PDF 117 KB...
19 03 2026 19:42:14
Статья в формате PDF
103 KB...
16 03 2026 20:36:33
Статья в формате PDF
411 KB...
15 03 2026 20:50:55
Статья в формате PDF
113 KB...
14 03 2026 10:52:42
Статья в формате PDF
128 KB...
13 03 2026 14:58:28
Статья в формате PDF
91 KB...
12 03 2026 19:42:39
Статья в формате PDF
130 KB...
11 03 2026 22:13:13
Статья в формате PDF
113 KB...
10 03 2026 4:30:27
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
