ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.
Рис. 1. Расчетная схема
В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .
Дифференциального уравнения движения
(1)
здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.
(2)
Здесь - скорость материальной точки,
где тогда
(3)
Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза
(4)
Начальные условия для уравнения (4) имеют вид
(5)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие
l0 + rφ > 0 или (6)
которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.
С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде
(7)
где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,
Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:
Тогда значение силы N будет равно
(8)
где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии
.
С учетом соотношений (2) и (3), получим
Данное выражение можно привести к виду
(9)
где
Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде
(10)
где
Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.
Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки
Согласно выражению (3) получим
Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным
φ = 0,2πn; n ∈ N.
График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.
Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:
(11)
где
.
Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали
При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:
или
При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
Статья в формате PDF
123 KB...
28 07 2026 0:32:50
Статья в формате PDF
139 KB...
27 07 2026 1:44:46
Статья в формате PDF
128 KB...
25 07 2026 17:14:32
Статья в формате PDF
114 KB...
24 07 2026 18:33:34
Статья в формате PDF
254 KB...
22 07 2026 10:48:43
Статья в формате PDF
104 KB...
21 07 2026 14:21:44
Статья в формате PDF
111 KB...
20 07 2026 2:12:17
Статья в формате PDF
286 KB...
19 07 2026 12:39:57
Статья в формате PDF
194 KB...
18 07 2026 21:53:58
Статья в формате PDF
131 KB...
17 07 2026 16:36:27
Статья в формате PDF
116 KB...
16 07 2026 6:25:41
Статья в формате PDF
127 KB...
15 07 2026 22:57:21
Статья в формате PDF
109 KB...
14 07 2026 8:58:11
Обсуждаются разбиения 3D прострaнcтва на модулярные ячейки с целью последующего конструирования невырожденных модулярных 3D структур кристаллов.
...
13 07 2026 4:28:40
Статья в формате PDF
170 KB...
12 07 2026 18:17:51
Статья в формате PDF 250 KB...
11 07 2026 2:18:10
В статье описаны эксперименты по изучению влияния основных факторов среды на жизнедеятельность жабронога стрептоцефалюса. Установлено, что наиболее оптимальная температура воды для роста и развития рачка и созревания его яиц составляет 15 - 25°С. Этот вид является исключительно пресноводным и чувствительно реагирует даже на небольшое повышение солености (в пределах 1 - 2%о). Однако жаброног способен выдерживать значительный дефицит кислорода в воде (2,5 - 2 мг/л).
...
10 07 2026 18:16:50
Статья в формате PDF
130 KB...
09 07 2026 4:13:15
Статья в формате PDF
311 KB...
08 07 2026 8:29:15
На основании многолетних наблюдений за комплексом внешних условий и состоянием популяций мелких млекопитающих количественно оценено распределение влияний внутрипопуляционных и внешних факторов на динамику их численности и структуры. Показано, что основное влияние на демографические процессы полевок на протяжении всего сезона размножения оказывают плотностно-зависимые механизмы регуляции (эндогенные факторы). Экзогенные (хищники, кормовые и погодные) факторы выступают в качестве воздействий, ограничивающих рост населения популяции, и наиболее эффективны в переходные осеннее-зимний и зимне-весенний периоды.
...
07 07 2026 17:53:36
Статья в формате PDF
119 KB...
06 07 2026 19:53:22
Статья в формате PDF
115 KB...
05 07 2026 9:39:13
Статья в формате PDF
257 KB...
04 07 2026 13:34:21
Статья в формате PDF
125 KB...
01 07 2026 23:56:54
Статья в формате PDF
133 KB...
29 06 2026 19:24:52
Статья в формате PDF
103 KB...
28 06 2026 8:28:37
Рассматриваются особенности изменения растительности и почв на протяжении пяти историко-экологических этапов трaнcформации восточноевропейских степей во второй половине голоцена. Получены оценки поступающей в почву фитомассы, величина изымаемой продукции (в массовом выражении и через энергетические эквиваленты), а также величины энергии, формируемой в процессе гумусообразования. Установлено, что за 5000 лет отношение энергии расхода-прихода растительного вещества изменилось от 1:28 до 1:0,4, а ежегодное поступление гумуса в почвы снизилось с 5,4 до 1,6 МДж/кв. м.
...
27 06 2026 13:47:40
Статья в формате PDF
149 KB...
26 06 2026 10:23:15
Статья в формате PDF
74 KB...
25 06 2026 17:10:10
Статья в формате PDF
114 KB...
24 06 2026 14:28:12
Статья в формате PDF
118 KB...
23 06 2026 6:49:10
Статья в формате PDF
112 KB...
22 06 2026 18:35:48
Статья в формате PDF
113 KB...
21 06 2026 0:11:26
Статья в формате PDF
319 KB...
20 06 2026 1:27:46
Статья в формате PDF
96 KB...
19 06 2026 14:47:44
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
