ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

1

• Авторы
• Файлы

Федюнина М.А. Статья в формате PDF 1190 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l₀ (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

 

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести  на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

 (1)

здесь T - кинетическая энергия,  - потенциальная энергия.

 (2)

Здесь  - скорость материальной точки,

где  тогда

 (3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

 (4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

 (5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x² + y² + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

 l₀ + rφ > 0 или  (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

 (7)

где  - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

Для нахождения реакции нити  запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

Тогда значение силы N будет равно

 (8)

где  - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали,  - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

.

С учетом соотношений (2) и (3), получим

Данное выражение можно привести к виду

 (9)

где   

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

 (10)

где 

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

Согласно выражению (3) получим

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l₀ = π r, т.е. α_кр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

 (11)

где

.

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде  и выражение (11) запишется в виде

откуда следует, что  и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

При значениях σ > 1 величина  в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

или 

При значениях  груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях  - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

Список литературы

1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

---