ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.
Рис. 1. Расчетная схема
В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .
Дифференциального уравнения движения
(1)
здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.
(2)
Здесь - скорость материальной точки,
где тогда
(3)
Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза
(4)
Начальные условия для уравнения (4) имеют вид
(5)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие
l0 + rφ > 0 или (6)
которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.
С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде
(7)
где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,
Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:
Тогда значение силы N будет равно
(8)
где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии
.
С учетом соотношений (2) и (3), получим
Данное выражение можно привести к виду
(9)
где
Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде
(10)
где
Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.
Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки
Согласно выражению (3) получим
Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным
φ = 0,2πn; n ∈ N.
График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.
Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:
(11)
где
.
Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали
При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:
или
При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
Статья в формате PDF
184 KB...
27 09 2026 23:51:30
Статья в формате PDF
121 KB...
26 09 2026 4:19:32
Статья в формате PDF
99 KB...
25 09 2026 23:26:14
Статья в формате PDF
119 KB...
24 09 2026 12:34:33
Статья в формате PDF
138 KB...
21 09 2026 20:51:55
Статья в формате PDF
122 KB...
20 09 2026 6:31:51
Статья в формате PDF
255 KB...
19 09 2026 12:18:19
Статья в формате PDF
106 KB...
18 09 2026 5:31:52
Анализ собственных и опубликованных материалов в отечественной и зарубежной литературе приводит к выводу о возможности организма рыб противостоять негативному влиянию экзотоксикантов. Реальной основой сопротивляемости организма является биокатализ. В этих процессах изменение активности ферментов следует рассматривать в качестве первичной реакции биологически активных веществ, направленной на детоксикацию чужеродных соединений.
...
17 09 2026 16:34:43
Статья в формате PDF
309 KB...
16 09 2026 0:11:43
Статья в формате PDF
102 KB...
15 09 2026 14:13:59
Статья в формате PDF
112 KB...
14 09 2026 1:51:34
Статья в формате PDF
421 KB...
13 09 2026 13:23:12
Статья в формате PDF
121 KB...
12 09 2026 6:36:25
Статья в формате PDF
113 KB...
11 09 2026 3:40:48
Статья в формате PDF
119 KB...
10 09 2026 16:46:46
Обсуждаются возможности использования микроскопических почвенных водорослей при оценке качества окружающей среды. Показано, что в качестве критериев при прогнозировании антропогенной нагрузки на наземные экосистемы можно использовать изменение видового состава и численности почвенных водорослей.
...
09 09 2026 14:40:32
Статья в формате PDF
112 KB...
08 09 2026 7:50:12
Статья в формате PDF
129 KB...
07 09 2026 5:40:58
Статья в формате PDF
182 KB...
06 09 2026 15:11:14
Статья в формате PDF
125 KB...
05 09 2026 20:23:36
Статья в формате PDF
121 KB...
04 09 2026 9:21:21
Статья в формате PDF
92 KB...
03 09 2026 1:10:17
Статья в формате PDF
130 KB...
01 09 2026 12:38:12
Статья в формате PDF
218 KB...
30 08 2026 20:32:41
Статья в формате PDF
135 KB...
29 08 2026 12:49:45
Статья в формате PDF
109 KB...
28 08 2026 19:26:43
Статья в формате PDF
293 KB...
27 08 2026 10:53:18
Статья в формате PDF
128 KB...
26 08 2026 2:55:41
Статья в формате PDF
97 KB...
25 08 2026 13:40:33
Статья в формате PDF
103 KB...
24 08 2026 20:24:24
Краниальные брыжеечные лимфатические узлы у новорожденных белой крысы располагаются главным образом вдоль ствола одноименной артерии и отличаются слабо дифференцированной паренхимой. ...
23 08 2026 19:27:43
Статья в формате PDF
106 KB...
22 08 2026 23:54:48
Статья в формате PDF
128 KB...
21 08 2026 20:21:44
Статья в формате PDF
130 KB...
19 08 2026 8:18:27
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
