ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Федюнина М.А. Статья в формате PDF 1190 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

 

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести  на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

 (1)

здесь T - кинетическая энергия,  - потенциальная энергия.

 (2)

Здесь  - скорость материальной точки,

где  тогда

 (3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

 (4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

 (5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

 l0 + rφ > 0 или  (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

 (7)

где  - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

Для нахождения реакции нити  запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

Тогда значение силы N будет равно

 (8)

где  - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали,  - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

.

С учетом соотношений (2) и (3), получим

Данное выражение можно привести к виду

 (9)

где   

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

 (10)

где 

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

Согласно выражению (3) получим

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

 (11)

где

.

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде  и выражение (11) запишется в виде

откуда следует, что  и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

При значениях σ > 1 величина  в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

или 

При значениях  груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях  - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

Список литературы

  1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
  2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.


ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ ПРИ АКТИВАЦИИ ВОДЫ

ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ ПРИ АКТИВАЦИИ ВОДЫ Статья в формате PDF 91 KB...

29 03 2026 18:52:48

Перспективы использования электрофизических методов при освоении месторождений минерального сырья

Перспективы использования электрофизических методов при освоении месторождений минерального сырья На основе анализа литературных источников показана необходимость создания эффективных методов переработки руд цветных металлов. Описано отрицательное воздействие горнообогатительного производства на окружающую среду. Рассмотрены проблемы освоения месторождений сырья и предложены пути их решения. Приведена схема рационального освоения минеральных ресурсов рудного месторождения с применением разрядноимпульсных методов. Обоснована возможность использования разрядноимпульсных воздействий в обогатительных процессах, что позволит повысить полноту извлечения полезных компонентов при переработке минерального сырья. Выделены ограничения применения импульсных методов. Установлено, что разрядноимпульсные методы интенсифицируют избирательное раскрытие минеральных ассоциаций во всем диапазоне исходных классов крупности. Эти методы эффективны в комбинированных схемах переработки труднообогатимых руд сложного состава. Применение комбинированных схем позволит сократить на 10–15 % время измельчения до выхода контрольного класса. ...

28 03 2026 22:19:43

ПЛАНЕТАРНЫЙ МЕХАНИЗМ С БЕЗВОДИЛЬНЫМ САТЕЛЛИТОМ

ПЛАНЕТАРНЫЙ МЕХАНИЗМ С БЕЗВОДИЛЬНЫМ САТЕЛЛИТОМ Статья в формате PDF 326 KB...

27 03 2026 8:32:43

РЕЦЕПТУРА В АЛГОРИТМАХ (учебное пособие)

РЕЦЕПТУРА В АЛГОРИТМАХ (учебное пособие) Статья в формате PDF 98 KB...

24 03 2026 8:30:18

ЗНАЧЕНИЕ СЪЕЗДОВ ЗЕМСКИХ ВРАЧЕЙ РЯЗАНСКОЙ ГУБЕРНИИ В РАЗВИТИИ ПРОФИЛАКТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ МЕДИЦИНЫ КРАЯ

ЗНАЧЕНИЕ СЪЕЗДОВ ЗЕМСКИХ ВРАЧЕЙ РЯЗАНСКОЙ ГУБЕРНИИ В РАЗВИТИИ ПРОФИЛАКТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ МЕДИЦИНЫ КРАЯ В статье представлены материалы о значении съездов земских врачей Рязанской губернии (1874 – 1900) и их роль в развитии профилактического направления медицины края. ...

23 03 2026 1:32:35

ЭФФЕКТИВНА ЛИ ИНТЕГРАЦИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ В РОССИИ?

ЭФФЕКТИВНА ЛИ ИНТЕГРАЦИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ В РОССИИ? Статья в формате PDF 223 KB...

22 03 2026 4:59:57

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО ФИЗИКЕ В ТОМСКЕ. АНАЛИЗ И РЕЗУЛЬТАТЫ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО ФИЗИКЕ В ТОМСКЕ. АНАЛИЗ И РЕЗУЛЬТАТЫ В работе анализируются результаты единого государственного экзамена по физике на примере региональной, а именно, томской выборки по результатам 2003 г. Проведено сравнение единого экзамена по физике и математике, а также вузовского и школьного тура ЕГЭ. Изучается решаемость конкретных заданий частей «А», «В», «С». Результаты исследования должны помочь учителям средних общеобразовательных школ в планировании учебного материала, построении новых методик обучения и, как следствие, в ликвидации пробелов в знаниях учащихся. ...

20 03 2026 5:22:49

К ВОПРОСУ ОБ АНТИКОРРУПЦИОННОЙ ЭКСПЕРТИЗЕ

К ВОПРОСУ ОБ АНТИКОРРУПЦИОННОЙ ЭКСПЕРТИЗЕ Статья в формате PDF 251 KB...

17 03 2026 3:47:11

КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В ОБРАЗОВАНИИ

КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В ОБРАЗОВАНИИ Статья в формате PDF 245 KB...

02 03 2026 1:18:11

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Статья в формате PDF 199 KB...

27 02 2026 5:37:51

ВИРТУАЛЬНЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

ВИРТУАЛЬНЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ Статья в формате PDF 265 KB...

26 02 2026 1:34:22

ВЛИЯНИЕ ВЕГЕТАТИВНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ НА СОСТОЯНИЕ НЕРВНО-МЫШЕЧНОГО АППАРАТА ПРИ СОЧЕТАННОЙ ПАТОЛОГИИ ВЕРТЕБРОГЕННОЙ С ВИБРАЦИОННОЙ БОЛЕЗНЬЮ У ГОРНОРАБОЧИХ

ВЛИЯНИЕ ВЕГЕТАТИВНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ НА СОСТОЯНИЕ НЕРВНО-МЫШЕЧНОГО АППАРАТА ПРИ СОЧЕТАННОЙ ПАТОЛОГИИ ВЕРТЕБРОГЕННОЙ С ВИБРАЦИОННОЙ БОЛЕЗНЬЮ У ГОРНОРАБОЧИХ Выявлена дисфункция вегетативной нервной системы с поражением нервно-мышечного аппарата, которая хаpaктеризуется электрофизиологическим полиморфизмом, с поражением нервных стволов у горнорабочих с сочетанной патологией. ...

24 02 2026 19:51:33

Особенности регулирования банкротства Китая

Особенности регулирования банкротства Китая Статья в формате PDF 272 KB...

19 02 2026 23:49:41

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::