ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Авторы
Файлы

Федюнина М.А. Статья в формате PDF 1190 KB

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l₀ (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

(1)

здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.

(2)

Здесь - скорость материальной точки,

где тогда

(3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

(4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

(5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x² + y² + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

l₀ + rφ > 0 или (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

(7)

где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

Тогда значение силы N будет равно

(8)

где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

С учетом соотношений (2) и (3), получим

Данное выражение можно привести к виду

(9)

где

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

(10)

где

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

Согласно выражению (3) получим

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l₀ = π r, т.е. α_кр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

(11)

где

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде

откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

или

При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

Список литературы

Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО-КОНВЕЙЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ СОВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 345 KB...

29 03 2026 23:46:46

ВАКУУМ-СУБЛИМАЦИОННОЕ ОБЕЗВОЖИВАНИЕ В РЕАЛИЗАЦИИ БИОПОТЕНЦИАЛА ОСТАТОЧНЫХ ПИВНЫХ ДРОЖЖЕЙ

Статья в формате PDF 396 KB...

28 03 2026 10:57:23

БИОФЛОКУЛЯЦИЯ В ЖИР- И БЕЛОКСОДЕРЖАЩИХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ

Статья в формате PDF 126 KB...

27 03 2026 5:39:33

ЛИТЕРАТУРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕЙ: КРИЗИС ЧТЕНИЯ

Статья в формате PDF 265 KB...

26 03 2026 8:16:15

САМООБРАЗОВАНИЕ ИНЖЕНЕРА – ОДИН ИЗ ФАКТОРОВ СОЦИАЛЬНО–ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА

Статья в формате PDF 126 KB...

25 03 2026 23:18:31

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧАСТИЯ В ЭКОНОМИКЕ (В СВЕТЕ ПОЛОЖЕНИЙ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ)

В статье дана хаpaктеристика отдельных особенностей государственного участия в экономике. В частности, уделено внимание роли государства как гаранта существующей системы прав собственности, монополиста по производству общественных благ и хозяйствующего субъекта, стремящегося к максимизации собственных, неналоговых доходов. ...

24 03 2026 6:21:32

ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА И ОБУЧЕНИЕ В РОССИЙСКОМ ВУЗЕ

Статья в формате PDF 183 KB...

23 03 2026 15:56:17

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОИСКОВОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ МАШИН И ИХ УЗЛОВ

Статья в формате PDF 210 KB...

22 03 2026 12:56:52

Секреты успешного проведения собеседования

Статья в формате PDF 265 KB...

21 03 2026 11:12:44

ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВОДОЕМОВ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 95 KB...

20 03 2026 23:31:23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ИОНОВ ТЯЖЕЛЫХ МЕТАЛЛОВ В ПРОДУКТАХ ДЕТСКОГО ПИТАНИЯ

Статья в формате PDF 317 KB...

19 03 2026 2:17:20

ЮРИДИЧЕСКАЯ ПРИРОДА «ЗОЛОТОЙ АКЦИИ»

Статья в формате PDF 106 KB...

18 03 2026 3:38:33

СУЩНОСТЬ КРИЗИСНЫХ ОТНОШЕНИЙ (ОТДЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ)

Статья в формате PDF 295 KB...

17 03 2026 8:58:43

ВЛИЯНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА НА ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ СТУДЕНТОВ

Статья в формате PDF 270 KB...

16 03 2026 8:19:27

КЛЕТОЧНЫЕ МЕХАНИЗМЫ РАЗВИТИЯ СИНДРОМА ДИСРЕГЕНЕРАЦИИ ВЕРХНИХ ДЫХАТЕЛЬНЫХ ПУТЕЙ У ДЕТЕЙ

Статья в формате PDF 114 KB...

15 03 2026 19:23:50

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ РЕКИ С ЦЕЛЬЮ ПРИРОДООХРАННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Статья в формате PDF 97 KB...

14 03 2026 11:56:12

ГЕНЕЗИС И КЛИНИКА ЭКТОДЕРМАЛЬНОЙ ДИСПЛАЗИИ АНГИДРОТИЧЕСКОЙ (СИНДРОМ КРИСТА–СИМЕНСА–ТУРЕНА)

Статья в формате PDF 104 KB...

13 03 2026 7:46:11

ПУТИ УСКОРЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ КЛИНИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 163 KB...

12 03 2026 19:37:58

АНТРОПОГЕННАЯ НАГРУЗКА НА Р. СОДИМУ В ЧЕРТЕ Г. КАДНИКОВ

Статья в формате PDF 88 KB...

11 03 2026 2:39:22

Современное образование в контексте информационно-коммуникационных технологий

Статья в формате PDF 279 KB...

10 03 2026 15:45:57

НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ БЕСКОНТАКТНО АКТИВИРОВАННЫХ РАСТВОРОВ

Исследованы водные растворы неорганических соединений бесконтактно активированные в бездиафрагменном электролизере. Активация в большинстве случаев сопровождается уменьшением окислительно-восстановительного потенциала растворов. Показано, что релаксация бесконтактно активированных растворов начинается спустя 30-40 минут по завершении активации и протекает в колебательном режиме. Растворы бихромата калия при активации приобретают отрицательный окислительно-восстановительный потенциал, спектр поглощения растворов при этом не изменяется. Для растворов перманганата калия наблюдается противоположный эффект. Изменения окислительно-восстановительного потенциала невелики, однако изменение спектра поглощения раствора свидетельствует об образовании продукта, не имеющем аналогов при химическом восстановлении KMnO4. ...