ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

Источник - Запись к врачу без талона

Авторы
Файлы

Ахметова Ю.А. Афонасенков О.В. Статья в формате PDF 654 KB

равнения существует, когда оно единственно, решается так называемыми теоремами существования и единственности. Эти теоремы очень важны, как для самой теории, так и для пpaктики. Они гарантируют законность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Численному интегрированию дифференциального уравнения обязательно должно предшествовать обращение к теоремам существования и единственности. И это необходимо делать для того, чтобы избежать недоразумений или вообще неправильных выводов.

Теорема существования. Если в уравнении
(1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x, y), то для любой точки (x₀, y₀) € D существует решение y(x) начальной задачи
, y(x₀) = y₀, (2)

определенное на некотором интервале, содержащем точку x₀.

Теорема существования и единственности. Если в уравнении функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x,y), причем она удовлетворяет в области D условию Липшица по переменной y, т.е.

где L - положительная постоянная, то для любой точки (x₀, y₀)€ D существует единственное решение y(x) начальной задачи (2) определенное на интервале, содержащем точку x₀.
Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения с начальными данными (x₀, y₀) Î D может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области D. При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.

Для иллюстрации «недоразумений» возникающих при использовании численных решений дифференциальных уравнений без учета теорем существования рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Требуется, используя численный метод интегрирования Эйлера с итерационной схемой

c шагом h =0,1, решить начальную задачу

y(-1) = 0,21 (3)

на отрезке [-1, 3].

Решение. (c помощью пакета Mathcad)

Обратимся теперь к теореме существования. Для исследуемой начальной задачи (3) функция f, определяемая равенством, определена и непрерывна во всей плоскости (x, y) за исключением точек оси абсцисс.

Таким образом, в соответствии с теоремой существования существует решение y(x) начальной задачи (3), определенное на некотором интервале, содержащем точку x₀ = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено до значения, близкого к значению y(x) = 0. В результате численного интегрирования получаем решение начальной задачи (3) на некотором интервале (a, b), где a < -1; 1,3 < b < 1,32. Однако, учитывая, что это уравнение с разделяющимися переменными, можно аналитически найти частное решение, удовлетворяющее начальной задаче (3)

Интегрируя, получаем, что

Отсюда следует, что решение начальной задачи (3) существует только для

Оказывается, обращение к теореме существования (и к теореме о продолжении) позволило отсечь отрезок (приблизительно [1,315; 5]), на котором решение исходной начальной задачи (3) заведомо не существует. Одно же только численное интегрирование приводит к ошибочному результату. Дело здесь в том, что при приближении решения y = y(x) к оси O_x угол наклона кривой приближается к 90°. Поэтому пока аргумент x изменяется на величину 0,1 значение y успевает перескочить ось O_x, и мы попадаем на интегральную кривую, отличную от исходной. А это происходит потому, что метод Эйлера учитывает угол наклона только в текущей точке.

Пример 2. Используя метод Эйлера, а затем метод Эйлера-Коши, с шагом h = 0,1 и итерационной схемой

где

решить начальную задачу

y(-1) = -1, (4)

на промежутке [-1, 1].

Решение. На базе Mathcad методом Эйлера, а затем методом Эйлера-Коши будем иметь:

Рис. 2

Получили чертеж (рис. 3) отличный от чертежа, изображенного на (рис. 2). Чтобы лучше разобраться в причине расхождения в результатах, проинтегрируем исходную начальную задачу. Разделяя переменные, имеем

или, окончательно, .

Становится понятно, что решение по методу Эйлера приближает функцию y₁(x) = x³, а по улучшенному методу Эйлера - функцию

При этом как, y₁ так и y₂ являются решениями начальной задачи (4), а значит, для рассматриваемой на промежутке [-1; 1] начальной задачи имеет место неединственность.

Обращаясь теперь к теореме существования и единственности, отметим, что, так как функция f, заданная равенством, непрерывна во всей плоскости (x, y), то из теоремы существования следует, что существует решение начальной задачи (4), определенное на некотором промежутке, содержащем точку x₀ = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено на любой промежуток. Далее, поскольку

то функция

удовлетворяет условию Липшица по переменной y в любой области, не содержащей точки оси O_x. Если же область содержит точку оси O_x, то нетрудно показать, что в ней указанная выше функция условию Липшица не удовлетворяет. Поэтому из теоремы существования и единственности (и теоремы о продолжении) следует, что в данном случае решение начальной задачи может быть продолжено единственным образом, по крайней мере, до оси O_x. Но поскольку прямая y = 0 является особой интегральной прямой для дифференциального уравнения

то, как только y станет равным нулю решение начальной задачи (4) не может быть единственным образом продолжено за точку O(0, 0).

Рис. 3

Итак, обращение в данном случае к теореме существования и единственности (и теореме о продолжении) позволило разобраться в результатах численного интегрирования. Если речь идет о единственном на промежутке [-1; 1] решении начальной задачи (4), то оно существует и определено лишь на отрезке [-1; 0]. В общем же случае таких решений несколько.

Список литературы

1. Roberts C.E. Jr. Why teach existence and uniqueness theorems in the first course in ordinary differential equations? // Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. - 1976. - Vol. 7, № 1. - P. 41-44.

СМОГУТ ЛИ АКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ЗАМЕНИТЬ В ОБУЧЕНИИ ТРАДИЦИОННЫЕ?

Статья в формате PDF 249 KB...

01 09 2026 19:31:33

ОБ ОДНОМ МЕТРИЧЕСКОМ ТЕСТЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПАМЯТЬЮ

Статья в формате PDF 146 KB...

31 08 2026 12:34:18

НЕЙРОСЕТЕВАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Статья в формате PDF 122 KB...

30 08 2026 17:36:21

МЕТАБОЛИЧЕСКИЕ И ГЕМОДИНАМИЧЕСКИЕ НАРУШЕНИЯ У ДЕВОЧЕК-ПОДРОСТКОВ С ОЛИГОМЕНОРЕЕЙ И ВТОРИЧНОЙ АМЕНОРЕЕЙ

Статья в формате PDF 104 KB...

29 08 2026 6:45:28

Оценка состояния эндоназального клиренса у детей

Статья в формате PDF 107 KB...

28 08 2026 8:14:40

БИОСФЕРА, НООСФЕРА И УПАКОВКА

Статья в формате PDF 111 KB...

27 08 2026 20:54:41

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ СУКЦИНАТА НАТРИЯ В КОРРЕКЦИИ ПОСТПРАНДИАЛЬНОЙ ИШЕМИИ У БОЛЬНЫХ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНЬЮ

Статья в формате PDF 119 KB...

26 08 2026 11:52:53

ВЛИЯНИЕ ПРИРОДНО-КЛИМАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ НА РАЗВИТИЕ ОБЩЕСТВА В СООТВЕТСТВИИ С ЗАКОНОМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 142 KB...

25 08 2026 10:51:14

РОЛЬ ИННОВАЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РЕФОРМИРОВАНИЯ ВЫСШЕГО МЕДИЦИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Статья в формате PDF 254 KB...

24 08 2026 4:15:23

СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ ДОНСКОГО КАЗАЧЕСТВА (учебное пособие)

Статья в формате PDF 117 KB...

23 08 2026 3:12:25

ВЛИЯНИЕ ГИДРОЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ

Статья в формате PDF 267 KB...

22 08 2026 20:17:10

РАЗРАБОТКА ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ФИКСИРУЮЩЕГО АППАРАТА ОСТЕОСИНТЕЗА

Статья в формате PDF 106 KB...

21 08 2026 19:51:31

МОРФОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НАРУШЕНИЯ РЕГИОНАРНОЙ ЛИМФАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ ФЛЕБОТРОМБОЗЕ

Статья в формате PDF 129 KB...

20 08 2026 6:46:46

КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОБЩЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА МНОЖЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Статья в формате PDF 144 KB...

19 08 2026 2:37:13

ДЕТСКОЕ ПИТАНИЕ НА ОСНОВЕ КОБЫЛЬЕГО МОЛОКА

Статья в формате PDF 257 KB...

18 08 2026 9:16:47

ОБЩИЙ КЛИНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРОВИ КАК МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСТСТРЕССОРНОЙ РЕАБИЛИТАЦИИ

В предложенной работе экспериментально доказано, что при хроническом стрессе, при нарушенном равновесии симпатического и парасимпатического отделов нервной системы, количество клеток периферической крови, изменяясь, не выходит за пределы нормы. Вегетативный баланс хаpaктеризуется средним арифметическим границ нормальных показателей. Общий клинический анализ крови является показателем функционального состояния и может быть предложен как метод, определяющий эффективность проводимого лечения в постстрессорной реабилитации. ...

17 08 2026 2:58:59

Модульно-рейтинговая технология как средство повышения эффективности обучения физике (монография)

Статья в формате PDF 268 KB...

16 08 2026 12:10:55

Метакорпорации: международные аспекты и их влияние на российскую экономику

Статья в формате PDF 125 KB...

15 08 2026 19:12:18

ПОЦЕЛУЕВА ЛЮДМИЛА АЛЕКСАНДРОВНА

Статья в формате PDF 109 KB...

14 08 2026 0:58:56

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ (учебное пособие)

Статья в формате PDF 108 KB...

13 08 2026 16:20:35

ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАБОТЫ СЕРДЦА СТУДЕНТОВ В ТЕЧЕНИИ СЕМЕСТРА В РАЗНЫЕ ДНИ НЕДЕЛИ

Исследованы показатели сердечнососудистой системы (систолическое, диастолическое давление, частота сердечных сокращений, пульсовое давление и минутный объем крови) у студентов обоего пола среднего учебного заведения в условиях учебной нагрузки до и после занятий в разные дни недели в начале и конце семестра. Возраст участников исследования составлял 18–20 лет. При анализе результатов выявлены пoлoвые и циркосептальные особенности реакции сердечнососудистой системы на учебную нагрузку. Было установлено, что в течение недели после учебной нагрузки происходит снижение артериального давления, особенно у дeвyшек, причем в начале семестра изменения в большей степени выражены в первой половине недели. Результаты свидетельствуют о развитии утомления и снижении адаптационных процессов, что необходимо учитывать при составлении расписания занятий и планировании учебной нагрузки. ...