ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
равнения существует, когда оно единственно, решается так называемыми теоремами существования и единственности. Эти теоремы очень важны, как для самой теории, так и для пpaктики. Они гарантируют законность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Численному интегрированию дифференциального уравнения обязательно должно предшествовать обращение к теоремам существования и единственности. И это необходимо делать для того, чтобы избежать недоразумений или вообще неправильных выводов.
Теорема существования. Если в уравнении
(1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x, y), то для любой точки (x0, y0) € D существует решение y(x) начальной задачи, y(x0) = y0, (2)
определенное на некотором интервале, содержащем точку x0.
Теорема существования и единственности. Если в уравнении функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x,y), причем она удовлетворяет в области D условию Липшица по переменной y, т.е.
Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения с начальными данными (x0, y0) Î D может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области D. При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.
Для иллюстрации «недоразумений» возникающих при использовании численных решений дифференциальных уравнений без учета теорем существования рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Требуется, используя численный метод интегрирования Эйлера с итерационной схемой
c шагом h =0,1, решить начальную задачу
y(-1) = 0,21 (3)
на отрезке [-1, 3].
Решение. (c помощью пакета Mathcad)
Обратимся теперь к теореме существования. Для исследуемой начальной задачи (3) функция f, определяемая равенством, определена и непрерывна во всей плоскости (x, y) за исключением точек оси абсцисс.
Таким образом, в соответствии с теоремой существования существует решение y(x) начальной задачи (3), определенное на некотором интервале, содержащем точку x0 = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено до значения, близкого к значению y(x) = 0. В результате численного интегрирования получаем решение начальной задачи (3) на некотором интервале (a, b), где a < -1; 1,3 < b < 1,32. Однако, учитывая, что это уравнение с разделяющимися переменными, можно аналитически найти частное решение, удовлетворяющее начальной задаче (3)
Интегрируя, получаем, что
Отсюда следует, что решение начальной задачи (3) существует только для
Оказывается, обращение к теореме существования (и к теореме о продолжении) позволило отсечь отрезок (приблизительно [1,315; 5]), на котором решение исходной начальной задачи (3) заведомо не существует. Одно же только численное интегрирование приводит к ошибочному результату. Дело здесь в том, что при приближении решения y = y(x) к оси Ox угол наклона кривой приближается к 90°. Поэтому пока аргумент x изменяется на величину 0,1 значение y успевает перескочить ось Ox, и мы попадаем на интегральную кривую, отличную от исходной. А это происходит потому, что метод Эйлера учитывает угол наклона только в текущей точке.
Пример 2. Используя метод Эйлера, а затем метод Эйлера-Коши, с шагом h = 0,1 и итерационной схемой
,
где
,
решить начальную задачу
y(-1) = -1, (4)
на промежутке [-1, 1].
Решение. На базе Mathcad методом Эйлера, а затем методом Эйлера-Коши будем иметь:
Рис. 2
Получили чертеж (рис. 3) отличный от чертежа, изображенного на (рис. 2). Чтобы лучше разобраться в причине расхождения в результатах, проинтегрируем исходную начальную задачу. Разделяя переменные, имеем
или, окончательно, .
Становится понятно, что решение по методу Эйлера приближает функцию y1(x) = x3, а по улучшенному методу Эйлера - функцию
При этом как, y1 так и y2 являются решениями начальной задачи (4), а значит, для рассматриваемой на промежутке [-1; 1] начальной задачи имеет место неединственность.
Обращаясь теперь к теореме существования и единственности, отметим, что, так как функция f, заданная равенством, непрерывна во всей плоскости (x, y), то из теоремы существования следует, что существует решение начальной задачи (4), определенное на некотором промежутке, содержащем точку x0 = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено на любой промежуток. Далее, поскольку
,
то функция
удовлетворяет условию Липшица по переменной y в любой области, не содержащей точки оси Ox. Если же область содержит точку оси Ox, то нетрудно показать, что в ней указанная выше функция условию Липшица не удовлетворяет. Поэтому из теоремы существования и единственности (и теоремы о продолжении) следует, что в данном случае решение начальной задачи может быть продолжено единственным образом, по крайней мере, до оси Ox. Но поскольку прямая y = 0 является особой интегральной прямой для дифференциального уравнения
,
то, как только y станет равным нулю решение начальной задачи (4) не может быть единственным образом продолжено за точку O(0, 0).
Рис. 3
Итак, обращение в данном случае к теореме существования и единственности (и теореме о продолжении) позволило разобраться в результатах численного интегрирования. Если речь идет о единственном на промежутке [-1; 1] решении начальной задачи (4), то оно существует и определено лишь на отрезке [-1; 0]. В общем же случае таких решений несколько.
Список литературы
1. Roberts C.E. Jr. Why teach existence and uniqueness theorems in the first course in ordinary differential equations? // Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. - 1976. - Vol. 7, № 1. - P. 41-44.
Статья в формате PDF
118 KB...
02 05 2026 21:46:28
Статья в формате PDF
330 KB...
01 05 2026 7:11:25
Статья в формате PDF
240 KB...
30 04 2026 22:57:34
Статья в формате PDF
113 KB...
27 04 2026 2:52:24
Целью настоящего исследования явилось определение с применением новых современных методов биоинформационного анализа места и роли гелиогеомагнитной активности в комплексном биотропном воздействии на организм человека особых экологических факторов высоких широт. Изучалась сезонная динамика рецидивирования хронических заболеваний внутренних органов (стенокардия, гипертоническая болезнь, хронический бронхит, ревматизм) у жителей г. Сургута за пятилетний период. Параллельно отмечалась среднемecячная динамика геомагнитной активности. Проведенный корреляционный анализ в рамках второй, стохастической (вероятностной) парадигмы показал, что суммарная среднемecячная и сезонная динамика геомагнитных колебаний, выявленная при многолетнем наблюдении на территории Югры, играет существенную роль в течении хронических неинфекционных болезней. Однако в рамках второй парадигмы не представляется возможным определить значимость геомагнитной активности в комплексном биотропном влиянии экстремальных экологических факторов. Разрешение данной проблемы возможно только с позиции третьей, синергетической парадигмы. Применение метода идентификации параметров квазиаттpaкторов в фазовом прострaнcтве состояний позволяет в рамках синергетической парадигмы выявить значимость геомагнитных возмущений в комплексном биотропном воздействии на организм человека нeблагоприятных экологических факторов высоких широт.
...
26 04 2026 11:31:17
Медицинская пиявка (Hirudo medicinalis L.) относится к классу пиявок (Hirudinea) подклассу настоящих пиявок (Euhirudinea) отряду челюстных пиявок (Ghathobdellidae), роду Hirudo. Более 30 веков она использовалась человеком как лечебное средство. В России велик опыт клинического применения пиявки (гирудотерапия), его расцветом считаются 18-19 века, когда по экспорту пиявки Россия занимала место, равное злаковым культурам, что являлось существенной статьей дохода государственной казны. В статье показаны оптимальные условия среды для обитания медицинской пиявки и возможные лимитирующие факторы ее распространения и численности. Сегодня основной причиной снижения численности пиявки в Краснодарском крае является антропогенный фактор. Так бpaконьерский вылов Hirudo medicinalis привел к сильному подрыву ее популяции в большинстве районов Краснодарского края, по сравнению с серединой 90-х годов, ее численность снизилась до 10 раз. В 2002 г. губернатором Краснодарского края А.Н. Ткачевым было выпущено постановление №955 «Об изучении и сохранении медицинской пиявки на территории Краснодарского края». Важным условием сохранения медицинской пиявки в нашем крае является введение запрета на ее вылов на территории Ростовской области, куда в последнее время сместились рынки нелегальной торговли пиявкой. Идеальным вариантом стал бы запрет на ловлю пиявки во всем Южном федеральном округе и принятие коллективных мер по ее охране.
...
25 04 2026 22:32:31
Статья в формате PDF
1797 KB...
24 04 2026 15:38:18
Статья в формате PDF
241 KB...
23 04 2026 1:14:49
Статья в формате PDF
127 KB...
22 04 2026 22:28:55
Статья в формате PDF
105 KB...
21 04 2026 9:37:13
Статья в формате PDF
240 KB...
20 04 2026 8:11:44
Статья в формате PDF
260 KB...
19 04 2026 13:28:44
Статья в формате PDF
263 KB...
18 04 2026 7:57:25
Статья в формате PDF
295 KB...
17 04 2026 0:37:23
Статья в формате PDF
103 KB...
15 04 2026 0:17:12
Статья в формате PDF
100 KB...
14 04 2026 17:43:24
Изучено влияние трaнcкраниальной электростимуляции на слизистую оболочку желудка. Выделяемые при этом воздействии эндогенные нейропептиды влияют на морфометрические параметры слизистой и на темп синтеза эпителиоцитами муцинов. При интактной слизистой наблюдается эффект гиперплазии ее с увеличением в составе желез мукоцитов. В условиях нарушения статуса слизистой желудка введением цистеамина действие трaнcкраниальной стимуляции прослеживается в увеличении факторов резистентности слизистой. ...
13 04 2026 14:59:11
В условиях эксперимента доказано, что острый панкреатит и травма поджелудочной железы приводят к повышению гемоциркуляции в поджелудочной железы. Хроническая алкогольная интоксикация, длительное применение ингибиторов протонной помпы и сочетание этих условий статистически значимо снижают перфузию в поджелудочной железе, желудке и двенадцатиперстной кишке. Для коррекции развившихся изменений рекомендовано применять электромагнитные волны. При этом электромагнитные волны низкой интенсивности частотой 61 Ггц снижают показатели перфузии в органах брюшной полости. Излучение частотой 65 Ггц – увеличивает эти показатели.
...
12 04 2026 8:55:49
Статья в формате PDF
253 KB...
11 04 2026 20:59:47
Статья в формате PDF
118 KB...
10 04 2026 1:32:28
Статья в формате PDF
256 KB...
09 04 2026 22:14:34
Статья в формате PDF
100 KB...
08 04 2026 22:28:44
Статья в формате PDF
93 KB...
07 04 2026 7:23:52
Разработана методика определения констант диссоциации протонированных трехкислотных оснований, отличающаяся новым подходом к оценке и учету концентраций всех равновесных частиц, для расчета ионной силы раствора.
...
04 04 2026 0:21:16
Статья в формате PDF
110 KB...
03 04 2026 17:28:20
Статья в формате PDF
101 KB...
02 04 2026 1:51:42
Статья в формате PDF
230 KB...
01 04 2026 2:53:44
Статья в формате PDF
108 KB...
31 03 2026 13:19:59
Статья в формате PDF
134 KB...
30 03 2026 3:10:40
Статья в формате PDF
100 KB...
29 03 2026 19:48:43
Статья в формате PDF
119 KB...
28 03 2026 8:31:25
Статья в формате PDF
121 KB...
27 03 2026 12:17:54
Статья в формате PDF
149 KB...
26 03 2026 14:46:36
Статья в формате PDF
113 KB...
25 03 2026 5:16:15
Статья в формате PDF
257 KB...
24 03 2026 10:45:57
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
