ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
равнения существует, когда оно единственно, решается так называемыми теоремами существования и единственности. Эти теоремы очень важны, как для самой теории, так и для пpaктики. Они гарантируют законность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Численному интегрированию дифференциального уравнения обязательно должно предшествовать обращение к теоремам существования и единственности. И это необходимо делать для того, чтобы избежать недоразумений или вообще неправильных выводов.
Теорема существования. Если в уравнении
(1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x, y), то для любой точки (x0, y0) € D существует решение y(x) начальной задачи, y(x0) = y0, (2)
определенное на некотором интервале, содержащем точку x0.
Теорема существования и единственности. Если в уравнении функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (x,y), причем она удовлетворяет в области D условию Липшица по переменной y, т.е.
Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения с начальными данными (x0, y0) Î D может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области D. При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.
Для иллюстрации «недоразумений» возникающих при использовании численных решений дифференциальных уравнений без учета теорем существования рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Требуется, используя численный метод интегрирования Эйлера с итерационной схемой
c шагом h =0,1, решить начальную задачу
y(-1) = 0,21 (3)
на отрезке [-1, 3].
Решение. (c помощью пакета Mathcad)
Обратимся теперь к теореме существования. Для исследуемой начальной задачи (3) функция f, определяемая равенством, определена и непрерывна во всей плоскости (x, y) за исключением точек оси абсцисс.
Таким образом, в соответствии с теоремой существования существует решение y(x) начальной задачи (3), определенное на некотором интервале, содержащем точку x0 = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено до значения, близкого к значению y(x) = 0. В результате численного интегрирования получаем решение начальной задачи (3) на некотором интервале (a, b), где a < -1; 1,3 < b < 1,32. Однако, учитывая, что это уравнение с разделяющимися переменными, можно аналитически найти частное решение, удовлетворяющее начальной задаче (3)
Интегрируя, получаем, что
Отсюда следует, что решение начальной задачи (3) существует только для
Оказывается, обращение к теореме существования (и к теореме о продолжении) позволило отсечь отрезок (приблизительно [1,315; 5]), на котором решение исходной начальной задачи (3) заведомо не существует. Одно же только численное интегрирование приводит к ошибочному результату. Дело здесь в том, что при приближении решения y = y(x) к оси Ox угол наклона кривой приближается к 90°. Поэтому пока аргумент x изменяется на величину 0,1 значение y успевает перескочить ось Ox, и мы попадаем на интегральную кривую, отличную от исходной. А это происходит потому, что метод Эйлера учитывает угол наклона только в текущей точке.
Пример 2. Используя метод Эйлера, а затем метод Эйлера-Коши, с шагом h = 0,1 и итерационной схемой
,
где
,
решить начальную задачу
y(-1) = -1, (4)
на промежутке [-1, 1].
Решение. На базе Mathcad методом Эйлера, а затем методом Эйлера-Коши будем иметь:
Рис. 2
Получили чертеж (рис. 3) отличный от чертежа, изображенного на (рис. 2). Чтобы лучше разобраться в причине расхождения в результатах, проинтегрируем исходную начальную задачу. Разделяя переменные, имеем
или, окончательно, .
Становится понятно, что решение по методу Эйлера приближает функцию y1(x) = x3, а по улучшенному методу Эйлера - функцию
При этом как, y1 так и y2 являются решениями начальной задачи (4), а значит, для рассматриваемой на промежутке [-1; 1] начальной задачи имеет место неединственность.
Обращаясь теперь к теореме существования и единственности, отметим, что, так как функция f, заданная равенством, непрерывна во всей плоскости (x, y), то из теоремы существования следует, что существует решение начальной задачи (4), определенное на некотором промежутке, содержащем точку x0 = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено на любой промежуток. Далее, поскольку
,
то функция
удовлетворяет условию Липшица по переменной y в любой области, не содержащей точки оси Ox. Если же область содержит точку оси Ox, то нетрудно показать, что в ней указанная выше функция условию Липшица не удовлетворяет. Поэтому из теоремы существования и единственности (и теоремы о продолжении) следует, что в данном случае решение начальной задачи может быть продолжено единственным образом, по крайней мере, до оси Ox. Но поскольку прямая y = 0 является особой интегральной прямой для дифференциального уравнения
,
то, как только y станет равным нулю решение начальной задачи (4) не может быть единственным образом продолжено за точку O(0, 0).
Рис. 3
Итак, обращение в данном случае к теореме существования и единственности (и теореме о продолжении) позволило разобраться в результатах численного интегрирования. Если речь идет о единственном на промежутке [-1; 1] решении начальной задачи (4), то оно существует и определено лишь на отрезке [-1; 0]. В общем же случае таких решений несколько.
Список литературы
1. Roberts C.E. Jr. Why teach existence and uniqueness theorems in the first course in ordinary differential equations? // Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. - 1976. - Vol. 7, № 1. - P. 41-44.
Статья в формате PDF
112 KB...
11 06 2026 8:28:21
Статья в формате PDF
162 KB...
09 06 2026 14:30:30
Статья в формате PDF
295 KB...
08 06 2026 6:59:38
В статье приведены сведения о золотоносности щелочных и ультpaбазит-базитовых щелочных комплексов. Впервые обращено внимание на золотоносность карбонатитовых комплексов. Приведены данные о золотоносности шошонитовых и щелочных лампрофировых комплексов. Основными геолого-промышленными типами оруденения указанных комплексов являются жильные, жильно-штокверковые, порфировые мезотермальные, скарновые, а также эпитермальные золото-серебряно-теллуридные месторождения. Золото выявлено в комплексных месторождениях кобальт-медно-никелевых (типа Блэкбёд), ортомагматических платиноидных в «аляскинском» типе ультpaбазитов, в железо-оксидном медно-золоторудном классе месторождений типа Олимпик Дам и других.
...
07 06 2026 4:30:22
Статья в формате PDF
111 KB...
06 06 2026 22:20:41
Статья в формате PDF
133 KB...
05 06 2026 9:23:58
Статья в формате PDF
141 KB...
04 06 2026 20:35:39
Статья в формате PDF
142 KB...
02 06 2026 12:12:16
Работа подъема тела в однородном поле силы тяжести всегда больше потенциальной энергии . Для минимизации работы силой тяги, равной , необходимо отключать силу тяги на некоторой высоте . Дальнейшее движение вверх до высоты происходит по инерции. Только в случае работа подъема будет стремиться к минимальному значению, равному .
...
01 06 2026 22:16:47
В статье представлен фрагмент авторской концепции теории патологического процесса. На примере становления хронического инфекционного процесса проведен анализ взаимоотношения основных причинных факторов, составляющих сложную структуру этиологии болезни.
...
31 05 2026 9:23:36
Статья в формате PDF
103 KB...
30 05 2026 4:55:50
Статья в формате PDF
122 KB...
29 05 2026 13:16:52
Статья в формате PDF
105 KB...
28 05 2026 10:22:43
Статья в формате PDF
118 KB...
27 05 2026 21:11:17
Статья в формате PDF
100 KB...
26 05 2026 14:52:59
В этой статье рассматриваются особенности формирования навыков здорового образа жизни учащихся сельских школ во внеурочное время путем применения инновационных технологий.
...
25 05 2026 3:54:47
Статья в формате PDF
110 KB...
24 05 2026 3:11:55
Статья в формате PDF
310 KB...
21 05 2026 11:14:15
Статья в формате PDF
124 KB...
20 05 2026 5:24:59
Статья в формате PDF
108 KB...
18 05 2026 12:49:53
Статья в формате PDF
135 KB...
17 05 2026 23:29:15
Статья в формате PDF
349 KB...
16 05 2026 11:14:25
Статья в формате PDF
122 KB...
15 05 2026 18:51:42
Статья в формате PDF
98 KB...
14 05 2026 6:32:10
Статья в формате PDF
124 KB...
13 05 2026 12:18:23
Статья в формате PDF
161 KB...
11 05 2026 16:39:16
Плацентарную щелочную фосфатазу (ПЩФ) относят к белкам, ассоциированным с беременностью и опухолевым ростом. ПЩФ образуется в плаценте и фетальных тканях, в крови беременных женщин выявляется с 10–14 недель в количестве от 1,0 до 40,0 Ед/л, сохраняясь в кровотоке после родов в течение 10–14 дней.
ПЩФ является маркёром герминогенных опухолей, обнаруживается в биологических жидкостях, эпителиальных клетках, фибробластах стромы и эндотелии новообразующихся сосудов опухолевой ткани при paке лёгкого и других органов, что следует учитывать при назначении лечения.
...
10 05 2026 4:37:57
Статья в формате PDF
115 KB...
09 05 2026 17:59:51
Статья в формате PDF
305 KB...
08 05 2026 20:26:46
Статья в формате PDF
254 KB...
07 05 2026 13:21:34
Статья в формате PDF
317 KB...
05 05 2026 11:40:51
Статья в формате PDF
294 KB...
04 05 2026 11:53:20
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
