ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЛЕКА-ШОУЛЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА И ЕГО ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Найдем интегральное представление для цены Европейского basket-опциона пут, используя преобразование Меллина. Обозначим К - цена исполнения опциона в момент времени t=T. Волатильность рыночной цены актива и коэффициент корреляции ρ не зависят от времени. Цену активов в данный момент времени обозначим S1, S2 соответственно. Искомую величину стоимости опциона обозначим p(S1, S2, t). Тогда в случае без выплаты дивидендов уравнение Блека-Шоулза имеет вид:
(1)
Граничные условия:
(2)
Используем преобразование Меллина:
,
где - функция двойного преобразования Меллина [2].
С учетом граничных и начальных условий такая замена переменных приведет к интегральному представлению точного решения уравнения (1):
(3)
Авторами статьи [1] предлагается дальнейшее преобразование выражения (3). Полученные результаты сравнивались с методом Монте-Карло.
Приведем численное решение данного интегрального уравнения в виде (3).
Обозначим подынтегральную функцию и . Тогда квадратурную формулу трапеций для вычисления интеграла можно записать в виде:
(4)
В силу того, что , то есть:
Тогда всю вычислительную область можно разбить на 2 комплексно-сопряженные части:
Тогда если обозначить
,
то искомый интеграл в силу комплексной сопряженности можно представить в виде:
Таким образом, можно рассматривать задачу не на всей вычислительной области, а лишь на части, что существенно сокращает время вычисления.
В результате были полученные следующие данные:
Метод |
Количество узлов |
Цена опциона |
CPU-time (время), с |
Панини |
32 |
5.5163 |
0.11 |
|
64 |
5.6007 |
0.44 |
|
128 |
5.6006 |
1.71 |
Без преобразования |
32 |
5.5918 |
0.08 |
|
64 |
5.5920 |
0.26 |
|
128 |
5.5926 |
1.07 |
Монте-Карло |
106 |
5.5928 |
47.08 |
Таким образом, можно добиться, чтобы без преобразования метод работал быстрее и точнее, чем с предложенными в [1] модификациями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- R.Panini, R.P. Srivastav. Option pricing with Mellin Transforms. Mathematical and Computer Modelling, 40 (2004), p. 43-56.
- Yu. A. Brychkov, H.J. Glaeske, A.P. Prudnikov and V.K. Tuan. Multidimensional integral transforms. Gordon and Breach, Amsterdam, 1992.
Статья в формате PDF 182 KB...
18 03 2024 22:35:24
Статья в формате PDF 263 KB...
17 03 2024 21:21:55
Статья в формате PDF 100 KB...
16 03 2024 19:33:39
Статья в формате PDF 302 KB...
15 03 2024 13:46:39
Статья в формате PDF 137 KB...
14 03 2024 23:51:39
Статья в формате PDF 252 KB...
13 03 2024 14:14:37
Статья в формате PDF 255 KB...
11 03 2024 1:52:47
Статья в формате PDF 103 KB...
10 03 2024 14:34:23
Статья в формате PDF 109 KB...
09 03 2024 23:58:50
Статья в формате PDF 157 KB...
07 03 2024 22:45:59
Статья в формате PDF 235 KB...
06 03 2024 4:41:56
Статья в формате PDF 113 KB...
05 03 2024 15:56:59
Статья в формате PDF 107 KB...
04 03 2024 22:24:28
Статья в формате PDF 135 KB...
03 03 2024 4:30:20
Статья в формате PDF 113 KB...
02 03 2024 5:42:53
Статья в формате PDF 112 KB...
01 03 2024 13:15:42
Статья в формате PDF 124 KB...
29 02 2024 19:51:58
Статья в формате PDF 124 KB...
28 02 2024 21:34:55
Статья в формате PDF 120 KB...
27 02 2024 20:58:49
Статья в формате PDF 104 KB...
24 02 2024 3:28:35
Статья в формате PDF 314 KB...
22 02 2024 14:38:10
Статья в формате PDF 102 KB...
21 02 2024 15:17:14
Статья в формате PDF 114 KB...
20 02 2024 3:53:37
Статья в формате PDF 113 KB...
18 02 2024 4:48:56
Статья в формате PDF 119 KB...
17 02 2024 16:40:42
Статья в формате PDF 313 KB...
14 02 2024 9:49:12
13 02 2024 23:54:59
Статья в формате PDF 137 KB...
12 02 2024 5:35:17
Статья в формате PDF 111 KB...
11 02 2024 3:36:48
10 02 2024 13:53:21
Статья в формате PDF 122 KB...
09 02 2024 0:19:36
Статья в формате PDF 252 KB...
08 02 2024 2:16:37
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::