ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ

Авторы
Файлы

Афанасьев В.В. Суворова М.А. Статья в формате PDF 225 KB Изучение теории вероятностей через рассмотрение различных азapтных игр вызывает интерес у студентов и учащихся. В основе одного из таких подходов лежит нахождение числовых хаpaктеристик положения случайных величин [1.C.81-86]. Большая часть задач сводится к вычислению моды или математического ожидания, тем более, что они удобны для аналитических преобразований. А вот задачи, в которых выбор стратегии зависит от нахождения медианы, в литературе встречается крайне редко. Напомним, что медианой дискретной случайной величины называется такое значение , что и .

В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому-либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].

Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?

Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.(табл. 1)

Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов

Вероят-ность	Кол-во жетонов j Сумма очков i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1/36	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
2/36	3	2	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6
3/36	4	2	3	4	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4
4/36	5	2	3	4	5	4	3	2	1	0	-1	-2
5/36	6	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1	0
6/36	7	2	3	4	5	6	7	6	5	4	3	2
5/36	8	2	3	4	5	6	7	8	7	6	5	4
4/36	9	2	3	4	5	6	7	8	9	8	7	6
3/36	10	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8
2/36	11	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	10
1/36	12	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Математическое ожидание прибыли		2	2,94	3,78	4,44	4,89	5,06	4,89	4,44	3,78	2,94	2

Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.

Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.

Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?

Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .

По условию задачи,

Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .

Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что

Поскольку , то

Следовательно,

или

Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. - 250с.
Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.

Работа представлена на научную конференцию с международным участием «Технологии 2005», г. Анталия (Турция), 22-29 мая 2005 г. Поступила в редакцию 06.05.2005 г.

Современное образование в контексте информационно-коммуникационных технологий

Статья в формате PDF 279 KB...

12 04 2026 5:17:19

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИЕМОВ БИОЛОГИЗАЦИИ ЗЕМЛЕДЕЛИЯ В УСЛОВИЯХ ЗЕРНОПРОПАШНОГО СЕВООБОРОТА ЦЕНТРАЛЬНОГО ЧЕРНОЗЕМЬЯ

Статья в формате PDF 133 KB...

11 04 2026 14:52:41

ЭФФЕКТИВНОСТЬ НОВОГО СПОСОБА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУММАРНЫХ РАЗРУШЕНИЙ В ПАРОДОНТЕ

Статья в формате PDF 113 KB...

10 04 2026 13:52:30

Tрaнcпортная функция эндотелия гемокапилляров щитовидной железы крысы при однократной инъекции ретаболила

Статья в формате PDF 114 KB...

09 04 2026 3:21:19

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НЕБИВОЛОЛА НА СПОСОБНОСТЬ К ДИЛАТАЦИИ СОСУДОВ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ У БОЛЬНЫХ С СИНДРОМОМ ДИАБЕТИЧЕСКОЙ СТОПЫ.

Статья в формате PDF 101 KB...

08 04 2026 9:28:23

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЦИКЛА ДВИГАТЕЛЯ, РАБОТАЮЩЕГО НА ГЕНЕРАТОРНОМ ГАЗЕ

Статья в формате PDF 297 KB...

07 04 2026 12:41:30

Опиоидные пептиды как модуляторы гумopaльного иммунного ответа при экспериментальной ожоговой травме

Статья в формате PDF 115 KB...

06 04 2026 3:26:15

ТЕХНОЛОГИЯ ПРОДУКТОВ ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОГО НАЗНАЧЕНИЯ (электронно-методический комплекс)

Статья в формате PDF 106 KB...

05 04 2026 1:23:58

РОЛЬ РЕЧИ В ФОРМИРОВАНИИ ХАРАКТЕРА ЛИЧНОСТИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В работе дан теоретический анализ понятия «личности», способы её формирования в результате пpaктической деятельности человека. Показано, что речь – необходимое условие социального, культурного воспроизводства личности, формирования его специфических социальных способностей. ...

04 04 2026 3:59:26

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПРИНОСЯЩИХ СОСУДОВ ПЕЧЕНИ В УСЛОВИЯХ ИСКУССТВЕННОЙ КОАРКТАЦИИ АОРТЫ

Статья в формате PDF 91 KB...

03 04 2026 15:59:29

СИНТЕЗ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ ПРИ СКРИНИНГЕ

Статья в формате PDF 134 KB...

02 04 2026 5:56:55

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВЯЗИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАРДИОРЕСПИРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ С ФИЗИЧЕСКОЙ РАБОТОСПОСОБНОСТЬЮ СПОРТСМЕНОВ МУЖСКОГО ПОЛА РАЗНОГО ВОЗРАСТА, ЗАНИМАЮЩИХСЯ РАЗЛИЧНЫМИ ВИДАМИ СПОРТА ПРИ НАГРУЗКЕ ПОВЫШАЮЩЕЙСЯ МОЩНОСТИ

В исследованиях приняло участие 85 спортсменов, которые были распределены 6 групп: юноши и взрослые лыжники, юноши и взрослые бегуны, юноши и взрослые спортсмены, занимающиеся скоростно-силовыми видами спорта. В качестве физической нагрузки применялась работа на велоэргометре ступенчато-повышающейся мощности без пауз отдыха от 50 до 200 Вт. При нагрузке мощностью 200 Вт во всех шести группах испытуемых выявлены значимые корреляционные связи между физической работоспособностью и частотой сердечных сокращений, отношением ударного объема крови к частоте сердечных сокращений. В группах спортсменов, занимающихся видами спорта на выносливость, и у юношей, тренирующих скоростно-силовые качества, выявлены также значимые корреляционные связи между физической работоспособностью и коэффициентом комплексной оценки обеспечения организма кислородом. ...