ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ > Полезные советы
Тысяча полезных мелочей    

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ

Афанасьев В.В. Суворова М.А. Статья в формате PDF 225 KB Изучение теории вероятностей через рассмотрение различных азapтных игр вызывает интерес у студентов и учащихся. В основе одного из таких подходов лежит нахождение числовых хаpaктеристик положения случайных величин [1.C.81-86]. Большая часть задач сводится к вычислению моды или математического ожидания, тем более, что они удобны для аналитических преобразований. А вот задачи, в которых выбор стратегии зависит от нахождения медианы, в литературе встречается крайне редко. Напомним, что медианой дискретной случайной величины  называется такое значение , что  и .

В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому-либо обобщению при таком подходе, необходимо решить доста­точно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может пре­вратиться в учебную только в том случае, если ученик (само­стоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он на­чинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].

Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?

Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.(табл. 1)

Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов

Вероят-ность

Кол-во жетонов j

Сумма очков i

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1/36

2

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2/36

3

2

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

3/36

4

2

3

4

2

2

1

0

-1

-2

-3

-4

4/36

5

2

3

4

5

4

3

2

1

0

-1

-2

5/36

6

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

0

6/36

7

2

3

4

5

6

7

6

5

4

3

2

5/36

8

2

3

4

5

6

7

8

7

6

5

4

4/36

9

2

3

4

5

6

7

8

9

8

7

6

3/36

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9

8

2/36

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10

1/36

12

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Математическое ожидание прибыли

2

2,94

3,78

4,44

4,89

5,06

4,89

4,44

3,78

2,94

2

Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана  равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.

Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.

Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?

Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .

По условию задачи,

Математическое ожидание  прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .

Из n чисел  найдем максимальное значение , то есть такое, что

 

Поскольку , то

Следовательно,

 или

Откуда следует, что математическое ожидание  прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой  первоначальной случайной величины X заданного испытания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. - 250с.
  2. Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.

Работа представлена на научную конференцию с международным участием «Технологии 2005», г. Анталия (Турция), 22-29 мая 2005 г. Поступила в редакцию 06.05.2005 г.



ЗАПАС ЭНЕРГИИ В ОРГАНИЗМЕ

ЗАПАС ЭНЕРГИИ В ОРГАНИЗМЕ Статья в формате PDF 134 KB...

03 02 2025 2:25:19

АВТОСТОЯНКА КАРУСЕЛЬНОГО ТИПА

АВТОСТОЯНКА КАРУСЕЛЬНОГО ТИПА Статья в формате PDF 142 KB...

30 01 2025 9:46:24

НОВЫЕ МОДЕЛИ ХРОНИЧЕСКОГО ЭНДОТОКСИКОЗА

НОВЫЕ МОДЕЛИ ХРОНИЧЕСКОГО ЭНДОТОКСИКОЗА Статья в формате PDF 194 KB...

22 01 2025 1:55:43

РОЛЬ ЛИНГВИСТИКИ В РАЗВИТИИ НАУЧНЫХ ЗНАНИЙ

РОЛЬ ЛИНГВИСТИКИ В РАЗВИТИИ НАУЧНЫХ ЗНАНИЙ Статья в формате PDF 135 KB...

13 01 2025 3:27:19

ИННОВАЦИОННЫЕ ВУЗЫ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ

ИННОВАЦИОННЫЕ ВУЗЫ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Статья в формате PDF 115 KB...

10 01 2025 11:48:22

Влияние антропогенного фактора на водные сообщества долины «Туймаада» (Средняя Лена)

Влияние антропогенного фактора на водные сообщества долины «Туймаада» (Средняя Лена) В работе рассмотрены 2 класса водной растительности. Представлен продромус, изучено биоразнообразие сообществ в городских озерах. Для оценки загрязнения водоемов использовалась система сапробности. ...

06 01 2025 20:47:20

КАЧЕСТВЕННЫЙ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ СОСТАВ ИМПЛАНТАЦИОННЫХ КАЛЬЦИЙФОСФАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

КАЧЕСТВЕННЫЙ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ СОСТАВ ИМПЛАНТАЦИОННЫХ КАЛЬЦИЙФОСФАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ В лаборатории биохимии ФГУН «РНЦ «ВТО» им. акад. Г. А. Илизарова Росздрава» разработаны имплантационные материалы на основе кальцийфосфатных соединений, выделенных из костной ткани крупного рогатого скота. Технология получения материалов для имплантации включает в себя деминерализацию костной ткани с применением хлороводородной кислоты, осаждение из раствора кальцийфосфатных соединений, их очистку, высушивание и измельчение. Изучен качественный и количественный состав полученных материалов с применением сканирующей электронной микроскопии, инфpaкрасной спектроскопии и метода рентгеновского электронно-зондового микроанализа. Установлено, что материалы представляют собой порошкообразные смеси с включениями гранул диаметром от 100 до 2000 мкм. В состав материалов входят остеотропные элементы кальций, фосфор, магний, сера, которые однородно распределены в материале. ...

04 01 2025 15:21:47

Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::