ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ

Авторы
Файлы

Афанасьев В.В. Суворова М.А. Статья в формате PDF 225 KB Изучение теории вероятностей через рассмотрение различных азapтных игр вызывает интерес у студентов и учащихся. В основе одного из таких подходов лежит нахождение числовых хаpaктеристик положения случайных величин [1.C.81-86]. Большая часть задач сводится к вычислению моды или математического ожидания, тем более, что они удобны для аналитических преобразований. А вот задачи, в которых выбор стратегии зависит от нахождения медианы, в литературе встречается крайне редко. Напомним, что медианой дискретной случайной величины называется такое значение , что и .

В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому-либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].

Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?

Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.(табл. 1)

Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов

Вероят-ность	Кол-во жетонов j Сумма очков i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1/36	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
2/36	3	2	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6
3/36	4	2	3	4	2	2	1	0	-1	-2	-3	-4
4/36	5	2	3	4	5	4	3	2	1	0	-1	-2
5/36	6	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1	0
6/36	7	2	3	4	5	6	7	6	5	4	3	2
5/36	8	2	3	4	5	6	7	8	7	6	5	4
4/36	9	2	3	4	5	6	7	8	9	8	7	6
3/36	10	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8
2/36	11	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	10
1/36	12	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Математическое ожидание прибыли		2	2,94	3,78	4,44	4,89	5,06	4,89	4,44	3,78	2,94	2

Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.

Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.

Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?

Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .

По условию задачи,

Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .

Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что

Поскольку , то

Следовательно,

или

Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. - 250с.
Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.

Работа представлена на научную конференцию с международным участием «Технологии 2005», г. Анталия (Турция), 22-29 мая 2005 г. Поступила в редакцию 06.05.2005 г.

ВОСТОЧНАЯ ТРАДИЦИЯ О ПРИРОДЕ ЧЕЛОВЕКА И ЕГО ИНДИВИДУАЛЬНОСТИ

В статье осуществлен краткий анализ основных философских подходов к феномену человеческой индивидуальности буддизмом, даосизмом, конфуцианством. Определены «пропорции» между лично-индивидуальным и социально-необходимым как составляющей проблемы человека. Также предложен авторский подход по коррекции распространенного мнения об отсутствии проблематики индивидуальности в рамках древневосточного социума. ...

02 07 2026 19:24:53

ЗНАЧЕНИЕ УЧЕБНЫХ ПРАКТИК ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ СТУДЕНТОВ

Статья в формате PDF 193 KB...

01 07 2026 2:48:19

О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ХИМИИ В ШКОЛЕ

Статья в формате PDF 111 KB...

30 06 2026 13:38:16

АНТРОПОГЕННЫЕ МОДИФИКАЦИИ ПРИРОДНЫХ КОМПЛЕКСОВ Г. КАДНИКОВ И ЕГО ОКРЕСТНОСТЕЙ

Статья в формате PDF 118 KB...

29 06 2026 8:40:25

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА БЮДЖЕТНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МУНИЦИПАЛИТЕТОВ РОССИИ И ЕВРОПЕЙСКИЕ ТЕНДЕНЦИИ

Статья в формате PDF 129 KB...

28 06 2026 10:36:31

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ «ОБЩАЯ ГИДРОГЕОЛОГИЯ»

Статья в формате PDF 359 KB...

27 06 2026 9:25:32

Доброкачественные опухоли кисти и образования, имитирующие их

Статья в формате PDF 108 KB...

26 06 2026 5:15:12

РАЗРАБОТКА БИОПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ КАПСУЛИРОВАННЫХ ПИЩЕВЫХ ДОБАВОК

Статья в формате PDF 273 KB...

25 06 2026 15:39:57

ФИЗИОЛОГО-ГИГИЕНИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА БРОНЕЖИЛЕТОВ

В настоящей работе представлены результаты физиолого-гигиенической оценки бронежилетов для наружного ношения, отличающихся конструкцией и видом используемых для изготовления чехлов материалов. Проведены три серии испытаний бронежилетов в условиях микроклиматической камеры в лаборатории специальной одежды Ивановского НИИ охраны труда и реальных условиях эксплуатации в Отделе специального назначения УИН Минюста России по Ивановской области. Сравнительная оценка физиолого-гигиенических хаpaктеристик бронежилетов в первой серии испытаний показала, что по показателям теплового состояния и сердечно-сосудистой системы бронежилет модели 1, чехол которого изготовлен из нового материала с дискретным полимерным покрытием, отличается в лучшую сторону. Исследовали во второй серии испытаний эту модель бронежилета, но с введением в структуру дополнительного амортизационного слоя. Результаты испытаний показали, что сдвиги функционального состояния носчиков наименее выражены при использовании бронежилета с амортизационным слоем. При проведении третьей серии испытаний на пересечённой местности наибольшее число носчиков отметили бронежилет модели 1 с амортизационным слоем как оптимальный. ...

24 06 2026 17:49:29

АКТИВНОСТЬ КАК НЕОБХОДИМОЕ КАЧЕСТВО КУЛЬТУРНО-ПРОДУКТИВНОЙ ЛИЧНОСТИ

Статья в формате PDF 95 KB...

23 06 2026 6:39:37

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА СЕВА И МЕЖДУРЯДНОЙ ОБРАБОТКИ ПРОПАШНЫХ КУЛЬТУР

Статья в формате PDF 114 KB...

22 06 2026 1:28:53

РОЛЬ ДНЕВНОГО СТАЦИОНАРА ПРИ РЕАБИЛИТАЦИИ БОЛЬНЫХ С ЧЕРЕПНО-МОЗГОВОЙ ТРАВМОЙ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ НАПРАВЛЕННОГО ТРАНСПОРТА МЕДИКАМЕНТОВ

Выбрать оптимальный метод введения больных в период реабилитации после черепно-мозговой травмы. Материалы и методы: За 2011 год в Новокуйбышевской центральной городской больницы пролечено 960 пострадавших с черепно-мозговой травмой, из них 780 пострадавших с сотрясением головного мозга. Все пациенты с сотрясением головного мозга, первых семь дней находились на стационарном лечении в условиях травматологического отделения. Под наблюдением врачей нейрохирурга, травматолога, невролога и окулиста, проводилась дегидратационная и симптоматическая терапия. После первой недели стационарного лечения данных пациентов разделили на три равных группы по 260 человек и в дальнейшем их вели по- разному. Результаты: Удовлетворительные результаты лечения получены в первой группе у 252 пациентов (97%), у второй группы 243 пациентов(93%), а в третьей 156 пациентов (60%). Один день дневного стационара в травматологическом отделение в Новокуйбышевской центральной городской больницы НЦГБ стоит 360 рублей, а один день дневного стационара, стоит 190 рублей. Таким образом стоимость лечения пациентов первой группы = (7 + 7)·360 = 5040 рублей, стоимость лечения пациентов второй группы = 7·360 + 7·190 = 2520 + 1330 = 3850 рублей, стоимость лечения пациентов третьей группы = 7·360 = 2520 рублей. Из данных расчетов видно, что пациенты третьей группы, требует меньше расходов, но к сожалению, у них намного хуже результаты лечения. Результаты лечения пациентов первой и второй группы пpaктически одинаковы, а стоимость пациентов второй группы намного меньше. ...

21 06 2026 1:32:31

ПОНЯТИЕ И ПРОБЛЕМЫ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ КИБЕРТЕРРОРИЗМУ

Статья в формате PDF 262 KB...

20 06 2026 12:53:46

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АСИММЕТРИЯ МОЗГА И ИНДИВИДУАЛЬНАЯ МИНУТА У СТУДЕНТОВ ТЫВИНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Статья в формате PDF 105 KB...

19 06 2026 0:37:26

АСПЕКТЫ ИММУНОКОРРЕКЦИИ БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМЫ У ЛИЦ ПОЖИЛОГО ВОЗРАСТА

Статья в формате PDF 138 KB...

18 06 2026 3:50:12

ОРГАНОГЕНЕЗ НАДПОЧЕЧНИКОВ ЧЕЛОВЕКА В ЗРЕЛОМ И ИНВОЛЮТИВНОМ ПЕРИОДАХ ОНТОГЕНЕЗА В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ СЕРОСОДЕРЖАЩИХ ПОЛЛЮТАНТОВ

Методом рентген-компьютерной томографии изучены надпочечники 227 мужчин и 184 женщин - работников Астpaxaнского Газопереpaбатывающего завода (АГПЗ). Результаты томографии были разделены по 5 стажевым группам: I (1 - 3 года), II (4 - 7 лет), III (8 - 10 лет), IV (11 - 15 лет), V (более 15 лет). Установлено, что как форма, так и линейные размеры надпочечников человека проявляют изменчивость и пoлoвoй диморфизм в условиях воздействия серосодержащих поллютантов. Выявлено преимущественное уменьшение субъектов с L-формами надпочечников по мере увеличения рабочего стажа. Также с увеличением рабочего стажа имеется снижение линейных размеров, что говорит о низкой организации изучаемого органа по мере негативного воздействия серосодержащих поллютантов. ...