ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ НА МЕДИАНУ
В работе предлагается система задач, инициированных одной идеей, и её обобщение. Такое изложение может являться и иллюстрацией идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, в которой утверждается: «для того, чтобы прийти к какому-либо обобщению при таком подходе, необходимо решить достаточно большое количество задач, постепенно выделяя «общие» для всех задач черты. Задача, поставленная перед учеником, может превратиться в учебную только в том случае, если ученик (самостоятельно или под руководством учителя) осуществляет переформулирование ее - вместо поиска частного способа решения он начинает искать обобщенный способ решения данного класса задач» [2].
Задача. Игроку предлагается купить жетоны по 2 рубля за каждый. Затем подбрасываются две игральных кости, а очки суммируются. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по 3 рубля. Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по 1 рублю. Сколько целесообразно купить жетонов?
Решение. Так как на двух костях может выпасть от двух до двенадцати очков, то покупать жетонов больше двенадцати и меньше двух нет смысла. Заполним таблицу для величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов.(табл. 1)
Таблица 1. Величины прибыли, соответствующей выпавшей сумме очков и количеству купленных жетонов
|
Вероят-ность |
Кол-во жетонов j Сумма очков i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1/36 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 |
-8 |
|
2/36 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
|
3/36 |
4 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
|
4/36 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
|
5/36 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
6/36 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
5/36 |
8 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
|
4/36 |
9 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
7 |
6 |
|
3/36 |
10 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
8 |
|
2/36 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
10 |
|
1/36 |
12 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Математическое ожидание прибыли |
2 |
2,94 |
3,78 |
4,44 |
4,89 |
5,06 |
4,89 |
4,44 |
3,78 |
2,94 |
2 |
|
Наибольшее значение математическое ожидание прибыли игрока получается при покупке семи жетонов. Обратим внимание, что для случайной величины {сумма очков при подбрасывании двух игральных костей}, медиана равна 7, что совпадает с найденным оптимальным количеством жетонов.
Аналогичные примеры можно предложить, подбрасывая несколько игральных кубиков или монет, проводя повторные зависимые испытания или независимые испытания по схеме Бернулли.
Обобщенная задача. Игроку предлагается купить жетоны по a рублей за каждый. Затем проводится некоторый эксперимент, в результате которого игрок может набрать определенное количество очков. За каждое выпавшее очко на каждый купленный жетон выплачивается по a + h рублей . Если жетонов больше, чем выпало очков, то за каждый оставшийся жетон выплачивают по a - h рублей. Сколько нужно купить жетонов, чтобы выигрыш был максимальным?
Решение. Обозначим величину выигрыша при покупке j жетонов и выпадении i очков через .
По условию задачи,
Математическое ожидание прибыли игрока при покупке им j жетонов вычислим, используя найденные .
Из n чисел найдем максимальное значение , то есть такое, что
Поскольку , то
Следовательно,
или
Откуда следует, что математическое ожидание прибыли игрока максимально, когда приобретаемое число жетонов совпадает с медианой первоначальной случайной величины X заданного испытания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2004. - 250с.
- Смирнов С.А., Котова И.Б., Шиянов Е.Н. и др. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учебник для студ. высш. и сред. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1999. 512с.
Работа представлена на научную конференцию с международным участием «Технологии 2005», г. Анталия (Турция), 22-29 мая 2005 г. Поступила в редакцию 06.05.2005 г.
Статья в формате PDF
102 KB...
11 06 2026 12:28:52
Статья в формате PDF
262 KB...
10 06 2026 4:53:15
Статья в формате PDF
119 KB...
09 06 2026 12:44:21
Статья в формате PDF
279 KB...
08 06 2026 0:24:11
Статья в формате PDF
103 KB...
06 06 2026 6:59:47
Статья в формате PDF
95 KB...
04 06 2026 1:48:39
Статья в формате PDF
121 KB...
02 06 2026 6:21:47
Статья в формате PDF
90 KB...
01 06 2026 4:59:47
Сложность современной социально-экономической жизни России при переходе от социализации к рыночным отношениям. Необходимы особые инструменты для социализации общества к новым условиям жизни. Развитие теоретико-методологического инструментария социальной работы для дальнейшей социализации российского общества. Взаимодействие социальной работы и философии хозяйства при социализации.
...
31 05 2026 22:31:26
Статья в формате PDF
127 KB...
30 05 2026 10:38:45
Статья в формате PDF
111 KB...
29 05 2026 6:53:30
Статья в формате PDF
113 KB...
28 05 2026 11:39:32
Статья в формате PDF
107 KB...
27 05 2026 11:53:20
Статья в формате PDF
100 KB...
26 05 2026 3:24:48
Статья в формате PDF
320 KB...
25 05 2026 3:17:50
Статья в формате PDF
111 KB...
24 05 2026 17:32:37
Статья в формате PDF
112 KB...
23 05 2026 4:55:41
Статья в формате PDF
140 KB...
22 05 2026 20:10:15
Морфогенез лимфатической системы является результатом взаимодействия сосудов разного типа, растущих неравномерно. Его формы меняются так же, как строение и топография сосудов, их сочетания в связи с органогенезом. Поэтому морфогенез лимфатической системы протекает как процесс рекомбинации артерий и вен, а затем и лимфатических сосудов, служит проявлением самодифференциации сердечно-сосудистой системы, когда ее части вступают в повторное взаимодействие, в т.ч. и после их трaнcформации.
...
21 05 2026 5:43:25
Статья в формате PDF
61 KB...
19 05 2026 5:31:54
Статья в формате PDF
99 KB...
18 05 2026 21:12:18
После выхода в свет первого издания книги Дарвина “Происхождение видов путем естественного отбора” прошло 150 лет, но полной ясности в некоторых вопросах, которые вызвали затруднения еще у Дарвина, по-прежнему нет. В предлагаемой статье рассматривается, каким образом под давлением окружающей среды большая популяция, эволюционирующая градуально, превращается в малую группу, в соответствии с синтетической теорией эволюции. И каким образом «многообещающий уpoд» “сальтационистов”, порождение этой вымирающей популяции, совершив скачок и обзаведясь потомством, закладывает популяцию нового вида. Рассматриваются также природа «пульсаций» в теории ”пунктационного” равновесия и ряд других вопросов.
...
17 05 2026 11:40:24
Статья в формате PDF
114 KB...
16 05 2026 5:45:25
Статья в формате PDF
115 KB...
14 05 2026 16:42:27
Статья в формате PDF
98 KB...
13 05 2026 18:45:30
Статья в формате PDF
112 KB...
11 05 2026 10:34:32
Из аспирата семенных пузырьков человека сочетанием катионообменной хроматографии на S-сефарозе и диск-электрофореза выделен белок. Молекулярная масса полученного белка, по данным SDS-PAGE, составила 53,5 kDa. Исходя из электрофоретической подвижности, мы предположили, что полученный белок –семеногелин-I (SPMIP/Sg-I). После обработки полученного препарата очищенным простатоспецифическим антигеном (человеческий калликреин-3 (hK3)), электрофоретически были выявлены многочисленные полипептиды с молекулярной массой от 5 до 24 kDa. Проверка биологической активности на образцах нативной cпepмы подтвердила наличие у полипептидных фрагментов способности ингибировать двигательную активность cпepматозоидов и они были отнесены к SPMI. Электрофоретическая подвижность фpaкции SPMI с молекулярной массой 18-20 kDa, которую мы назвали «тяжелой» (SPMI-h), соответствовала электрофоретической подвижности фpaкции нативной cпepмы человека, проявляющей ингибиторную активность. Изучение в казиинолитическом тесте (с химотрипсином и папаином в качестве ферментов) возможной ингибиторной активности SPMI-h, показало наличие подобной активности в отношении папаина, влияние на ферментативную активность химотрипсина выявлено не было.
...
10 05 2026 5:57:20
В статье описаны эксперименты по изучению влияния основных факторов среды на жизнедеятельность жабронога стрептоцефалюса. Установлено, что наиболее оптимальная температура воды для роста и развития рачка и созревания его яиц составляет 15 - 25°С. Этот вид является исключительно пресноводным и чувствительно реагирует даже на небольшое повышение солености (в пределах 1 - 2%о). Однако жаброног способен выдерживать значительный дефицит кислорода в воде (2,5 - 2 мг/л).
...
09 05 2026 3:45:38
Статья в формате PDF
253 KB...
08 05 2026 9:46:16
Статья в формате PDF
82 KB...
05 05 2026 8:18:51
Статья в формате PDF
265 KB...
04 05 2026 10:45:15
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
