АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(1)
где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.
Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:
(2)
где
Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке
почти всюду на отрезке . (3)
Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.
Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть
Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
, (4)
где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:
(5)
При этом справедливы следующие формулы:
(6)
Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].
Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
, (7)
где yk(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.
Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].
Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:
(8)
С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:
(9)
В уравнении (9) введены следующие обозначения:
Справедливы следующие формулы:
Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.
Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
(10)
(11)
Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа
(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.
Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
Статья в формате PDF
127 KB...
28 07 2026 15:14:15
Статья в формате PDF
108 KB...
27 07 2026 22:21:23
Статья в формате PDF
120 KB...
26 07 2026 11:18:21
Статья в формате PDF
104 KB...
25 07 2026 3:29:11
Статья в формате PDF
111 KB...
24 07 2026 18:28:53
Статья в формате PDF
113 KB...
23 07 2026 4:12:51
Статья в формате PDF
99 KB...
22 07 2026 2:26:26
Статья в формате PDF
215 KB...
20 07 2026 7:14:44
Статья в формате PDF
117 KB...
18 07 2026 5:56:51
Статья в формате PDF
104 KB...
17 07 2026 12:46:54
Статья в формате PDF
661 KB...
16 07 2026 12:39:34
Статья в формате PDF
136 KB...
15 07 2026 8:23:11
Статья в формате PDF
284 KB...
14 07 2026 13:42:45
Статья в формате PDF
106 KB...
13 07 2026 14:58:42
Статья в формате PDF
101 KB...
12 07 2026 10:41:22
Статья в формате PDF
2874 KB...
11 07 2026 19:24:40
Статья в формате PDF
127 KB...
10 07 2026 19:48:19
Рассмотрена финансовая поддержка издательских проектов Российским Фондом Фундаментальных Исследований. Проанализированы количественные хаpaктеристики и динамика результатов конкурсов проектов по разным областям знания.
...
09 07 2026 21:30:29
Статья в формате PDF
130 KB...
07 07 2026 7:58:14
Статья в формате PDF
289 KB...
06 07 2026 7:20:33
Статья в формате PDF
101 KB...
05 07 2026 4:40:20
Статья в формате PDF
244 KB...
04 07 2026 23:39:14
Статья в формате PDF
320 KB...
03 07 2026 22:21:17
Статья в формате PDF
91 KB...
02 07 2026 7:51:49
Статья в формате PDF
100 KB...
01 07 2026 14:21:56
Статья в формате PDF
113 KB...
30 06 2026 8:15:27
Статья в формате PDF
100 KB...
29 06 2026 5:22:26
Статья в формате PDF
262 KB...
28 06 2026 16:14:22
Статья в формате PDF
120 KB...
27 06 2026 16:38:37
Статья в формате PDF
392 KB...
26 06 2026 5:41:58
В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам осуществлена государственная регистрация оригинального алгоритма и базы данных «Drug», позволяющих прогнозировать новые виды действия известных лекарственных средств. Программа основана на сравнении набора квантово-химических и геометрических дескрипторов молекул методами многомерной статистики. Результаты работы алгоритма получили пpaктическое подтверждение для четырех препаратов.
...
25 06 2026 15:20:56
Статья в формате PDF
113 KB...
24 06 2026 12:59:19
Статья в формате PDF
113 KB...
23 06 2026 4:46:44
Статья в формате PDF
137 KB...
21 06 2026 8:45:54
Статья в формате PDF
102 KB...
20 06 2026 4:30:27
Статья в формате PDF
255 KB...
19 06 2026 4:48:53
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
