АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1)

где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.

Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:

(2)

где

Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке

почти всюду на отрезке . (3)

Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.

Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть

Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

, (4)

где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:

(5)

При этом справедливы следующие формулы:

(6)

Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].

Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

, (7)

где y_k(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.

Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].

Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:

(8)

С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:

(9)

В уравнении (9) введены следующие обозначения:

Справедливы следующие формулы:

Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

(10)

(11)

Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа

(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.

Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.

АБСОЛЮТНЫЙ ПРОГНОЗ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Статья в формате PDF 378 KB...

15 07 2026 12:30:48

СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЗМОЖНЫХ МЕХАНИЗМАХ СРЫВА ИММУНОЛОГИЧЕСКОЙ ТОЛЕРАНТНОСТИ МАТЕРИ ПО ОТНОШЕНИЮ К АНТИГЕНАМ ПЛОДА КАК ВЕДУЩЕГО ФАКТОРА ИММУНОАЛЛЕРГИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГЕСТОЗА СООБЩЕНИЕ I. РОЛЬ НАРУШЕНИЙ ИНВАЗИИ ТРОФОБЛАСТА В СТЕНКУ МАТКИ И НЕ

Анализ данных литературы свидетельствует о том, что инициирующими патогенетическими факторами развития гестоза являются недостаточность инвазии трофобласта в стенку матки и неполноценность плацентации, то есть ограничение ее поверхностной плацентарной площадкой. Последнее обусловлено генетически детерминированными факторами, в частности, аномалиями структуры интегринов, приводящими к нарушению инвазии трофобласта в децидуальную оболочку матки, в том числе в маточно-плацентарные артерии. При этом в сосудах плаценты и субплацентарной зоны сохраняются мышечные элементы, реагирующие развитием спазма и ишемии на действие вазопрессорных нервных и гумopaльных влияний. ...

14 07 2026 1:55:36

Серотонинпродуцирующие клетки желудка при рефлюкс-эзофагите

Статья в формате PDF 119 KB...

13 07 2026 15:18:13

ПРОГНОЗ ГИПОЛИПИДЕМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА СТАТИНОВ, ФИБРАТОВ И ЭНДУРАЦИНА У БОЛЬНЫХ ИБС С ГЛП С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОСЕТЕВОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Статья в формате PDF 121 KB...

12 07 2026 13:20:54

АГОНИСТ КАННАБИНОИДНЫХ РЕЦЕПТОРОВ WIN 55,212-2 ПРЕДОТВРАЩАЕТ ЭПИЛЕПТИЧЕСКИЙ СТАТУС И БЛОКИРУЕТ РАЗВИТИЕ СУДОРОЖНОЙ АКТИВНОСТИ

Статья в формате PDF 99 KB...

11 07 2026 7:54:47

Применение аппарата "Миомед" у детей с нейрогенной дисфункцией органов малого таза

Статья в формате PDF 115 KB...

10 07 2026 19:16:23

Оптимизация заживления слизистой перегородки после септопластики у детей

Статья в формате PDF 102 KB...

09 07 2026 9:10:28

МЕХАНИЗМЫ ИНТЕГРАЦИИ ЭКОНОМИКИ В СИСТЕМУ МИРОХОЗЯЙСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ: РЕГИОНАЛЬНЫЙ АСПЕКТ

Статья в формате PDF 123 KB...

08 07 2026 12:41:55

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ВЫСТУПЛЕНИЯ ЛЫЖНИКОВ НА ОСНОВАНИИ ИЗУЧЕНИЯ МЕТАБОЛИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Статья в формате PDF 140 KB...

07 07 2026 2:16:29

НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЛЕВОГО ЯРЕМНОГО ЛИМФАТИЧЕСКОГО СТВОЛА У ПЛОДОВ ЧЕЛОВЕКА

У плодов человека 10-12 нед обнаружено формирование левых яремных лимфатических стволов. Медиальный ствол спускается к грудному протоку около трахеи и пищевода. Поперечный латеральный ствол выходит из воротного синуса крупного нижнего глубокого латерального шейного лимфатического узла, расположенного на месте медиального отрога яремного лимфатического мешка, проходит позади блуждающего нерва и общей сонной артерии и впадает в начало шейной части грудного протока. ...

06 07 2026 17:58:15

УСТОЙЧИВОСТЬ.  ЛОКАЛЬНО−ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ

Статья в формате PDF 340 KB...

05 07 2026 5:56:38

ЛУКЬЯНОВА МАРГАРИТА ИВАНОВНА

Статья в формате PDF 129 KB...

04 07 2026 11:29:18

ПЕРСПЕКТИВНЫЙ СПОСОБ НЕРЕСТА КАРПА В САДКАХ

Статья в формате PDF 107 KB...

03 07 2026 13:15:13

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЕКЦИЙ МЕХАНИЗИРОВАННЫХ КРЕПЕЙ МЕТОДОМ ЗАМКНУТЫХ КОНТУРОВ

Статья в формате PDF 441 KB...

02 07 2026 10:24:20

БИОТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП И УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 181 KB...

01 07 2026 2:11:13

ЧЕРЕМНЫХ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ

Статья в формате PDF 324 KB...

30 06 2026 3:26:43

СПЕЦИФИКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОЛИГОПОЛИСТИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА РЫНКЕ НЕФТИ И НЕФТЕПРОДУКТОВ НА ОСНОВЕ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 98 KB...

29 06 2026 21:24:22

БОРИСОВА ЭЛЕОНОРА ГЕННАДИЕВНА

Статья в формате PDF 347 KB...

28 06 2026 10:24:27

ВЕДУЩИЙ МЕХАНИЗМ ИММУНОПАТОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПРИ ПСОРИАТИЧЕ-СКОЙ БОЛЕЗНИ

С целью уточнения хаpaктера иммунопатологического процесса при псориатической болезни и выяснения аутоиммунного механизма воспаления авторами проведено клинико-иммунологическое обследование 132 больных псориатической болезнью. Комплексное иммунологическое обследование пациентов с определением содержания органоспецифических и органонеспецифических аутоантител к различным тканевым и органным антигенам позволило определить аутоиммунный тип иммунной патологии как один из ведущих механизмов воспаления при данной патологии. ...

27 06 2026 0:48:10

О НАХОДКЕ VERMIPSYLLA YEAЕ НА ТЕРРИТОРИИ СНГ (SIPHONAPTERA: VERMIPSYLLIDAE)

Статья в формате PDF 193 KB...

26 06 2026 16:44:35

СТЕПЕНЬ ИММУНИЗАЦИИ ПО ФАКТОРАМ СИСТЕМЫАВ0 СРЕДИ ДЕТЕЙ И ВЗРОСЛЫХ

Статья в формате PDF 111 KB...

25 06 2026 13:56:15

СОЧЕТАННЫЕ ПРИРОДНЫЕ ОЧАГИ ИНФЕКЦИЙ И ИНВАЗИЙ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

Статья в формате PDF 149 KB...

24 06 2026 1:19:45

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Статья в формате PDF 113 KB...

23 06 2026 11:48:25

НЕСПЕЦИФИЧЕСКИЕ АДАПТАЦИОННЫЕ РЕАКЦИИ КЛЕТОК ЭРИТРОЦИТАРНОЙ ПОПУЛЯЦИИ У ПТИЦ

Статья в формате PDF 88 KB...

22 06 2026 18:27:56

КОНЦЕПЦИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕГО МАРКЕТИНГА ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УСЛУГ

Статья в формате PDF 104 KB...

21 06 2026 1:36:26

ВАРИАБЕЛЬНОСТЬ СЕРДЕЧНОГО РИТМА У БОЛЬНЫХ С СИНДРОМОМ ОСТРОЙ ДИСЦИРКУЛЯТОРНОЙ ЭНЦЕФАЛОПАТИИ

Статья в формате PDF 123 KB...

20 06 2026 16:12:23

ВЛИЯНИЕ ЭНДОГЕННОГО ПИЗАМИНА, АНТИВИТАМИНА ПАНТОТЕНОВОЙ КИСЛОТЫ, НА СОДЕРЖАНИЕ АМИНОКИСЛОТ И БЕЛКА ПРИ ПЕРЕХОДЕ МЕЖДОУЗЛИЙ ГОРОХА ОТ ИНТЕНСИВНОГО РОСТА К ЕГО ПРЕКРАЩЕНИЮ

Установлено, что переход междоузлий проростков гороха от интенсивного роста к замедлению и прекращению коррелирует с образованием и накоплением в них эндогенного пизамина, антивитамина пантотеновой кислоты, что приводит к количественному снижению ряда аминокислот и общего белка. Это может быть следствием переориентации метаболических процессов, вызывающих замедление и прекращение растяжения клеточных стенок междоузлий. ...