АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1)

где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.

Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:

(2)

где

Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке

почти всюду на отрезке . (3)

Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.

Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть

Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

, (4)

где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:

(5)

При этом справедливы следующие формулы:

(6)

Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].

Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

, (7)

где y_k(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.

Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].

Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:

(8)

С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:

(9)

В уравнении (9) введены следующие обозначения:

Справедливы следующие формулы:

Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

(10)

(11)

Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа

(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.

Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.

ПРАЗДНИЧНО-ОБРЯДОВАЯ КУЛЬТУРА: РЕЛИГИОЗНЫЕ ПРАЗДНИКИ, ОБРЯДЫ И ТРАДИЦИИ НАРОДОВ МИРА

Статья в формате PDF 269 KB...

29 03 2026 23:13:51

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА (учебное пособие)

Статья в формате PDF 108 KB...

28 03 2026 8:16:30

НИКОЛАЕВА НАДЕЖДА КЛИМЕНТЬЕВНА

Статья в формате PDF 65 KB...

27 03 2026 6:43:50

НЕПРЕРЫВНАЯ ОЦЕНКА ПЛАНОВ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ

Статья в формате PDF 103 KB...

26 03 2026 13:40:26

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ ЗДАНИЯХ

Статья в формате PDF 253 KB...

25 03 2026 10:33:43

ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННАЯ ВЗАИМООБУСЛОВЛЕННОСТЬ РЫНОЧНОЙ МНОГОУКЛАДНОСТИ И ПОЛИТИЧЕСКОГО ПЛЮРАЛИЗМА В РОССИИ (НА ПРИМЕРЕ ЮФО)

Статья в формате PDF 116 KB...

24 03 2026 7:47:47

Геоэкологическая хаpaктеристика Западного озера Ивановской области

Статья в формате PDF 267 KB...

23 03 2026 11:13:28

КОЛОНИЗАЦИОННАЯ И ПАТОГЕНЕТИЧЕСКАЯ СПОСОБНОСТЬ МИКРОФЛОРЫ ПАРОДОНТАЛЬНОГО КАРМАНА БОЛЬНЫХ С ВОСПАЛЕНИЕМ ПАРОДОНТА

Статья в формате PDF 104 KB...

22 03 2026 12:33:56

Иммунологические аспекты нарушения гомеостаза у больных геморрагической лихорадкой с почечным синдромом

Статья в формате PDF 115 KB...

21 03 2026 20:59:34

ПОЧВЕННЫЕ ВОДОРОСЛИ: КАЧЕСТВЕННЫЙ СОСТАВ, КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

Статья в формате PDF 109 KB...

20 03 2026 2:55:50

Ферментативные сдвиги у больных опийной наркоманией, находящихся в ремиссии

Статья в формате PDF 105 KB...

19 03 2026 2:55:25

ВОСПРИЯТИЕ ОБРАЗА ГОРОДА (СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ)

Статья в формате PDF 134 KB...

18 03 2026 19:43:29

ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ЭМБРИОНАЛЬНОГО ГИСТОГЕНЕЗА

Статья в формате PDF 124 KB...

17 03 2026 4:37:51

ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНАЯ БАЗА ДАННЫХ «ПРИРОДНОЕ И КУЛЬТУРНОЕ НАСЛЕДИЕ В РАЙОНЕ ТРАССЫ ВОЛГО-БАЛТИЙСКОГО ВОДНОГО ПУТИ»

Статья в формате PDF 266 KB...

16 03 2026 4:28:46

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕНЕЗИСА КОТЛОВИНЫ ТЕПЛЯКОВСКОГО ОЗЕРА (ИВАНОВСКАЯ ОБЛАСТЬ)

Статья в формате PDF 267 KB...

15 03 2026 1:37:56

Исследование влияния лизиноприла на липидный спектр крови и перекисное окисление липидов больных артериальной гипертонией с метаболическим синдромом

Статья в формате PDF 116 KB...

14 03 2026 13:46:30

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВРЕДНЫХ И ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ НА УЧАСТКЕ ФОРМОВКИ ЛИТЕЙНОГО ЦЕХА №104 ОАО «МЗРИП»

Статья в формате PDF 296 KB...

13 03 2026 17:59:16

ОБ ОЦЕНКЕ ПЕРСПЕКТИВ ПОВЫШЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВИРТУАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Статья в формате PDF 123 KB...

12 03 2026 8:35:47

КРИТЕРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗАХ США

Статья в формате PDF 127 KB...

11 03 2026 5:37:13

МЕСТО ПЛАЗМАФЕРЕЗА В КОМПЛЕКСНОМ ЛЕЧЕНИИ ИНФЕРТИЛЬНЫХ ПАЦИЕНТОК ПЕРЕНЕСШИХ ХИРУРГИЧЕСКУЮ ЛАПАРОСКОПИЮ

Статья в формате PDF 154 KB...

10 03 2026 7:47:28

ЧЕСТЬ КАК КАТЕГОРИЯ ПРАВА, ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОСНОВА ЕГО СОБЛЮДЕНИЯ

Представленная статья посвящена исследованию понятия честь в качестве фундаментальной категории права. В работе отмечено, что основой для соблюдения права, уважения к закону является честь. Данное понятие включает в себя такие качества, как целомудрие и благородство. Основным же назначением государства является защита чести своих граждан. Эта высокая миссия тесно связана с единственной целью государственности как формы человеческого бытия – с содействием духовному возрастанию человека. ...