АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(1)
где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.
Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:
(2)
где
Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке
почти всюду на отрезке . (3)
Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.
Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть
Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
, (4)
где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:
(5)
При этом справедливы следующие формулы:
(6)
Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].
Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
, (7)
где yk(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.
Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].
Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:
(8)
С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:
(9)
В уравнении (9) введены следующие обозначения:
Справедливы следующие формулы:
Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.
Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
(10)
(11)
Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа
(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.
Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
Данная статья освещает современное состояние антибактериальной терапии ревматизма,которая представляется возможной, благодаря появлению новых антибактериальных препаратов (АБП).
Затронуты способы борьбы с нарастающей резистентностью микроорганизмов к АБП.
...
07 07 2026 7:18:14
Статья в формате PDF
113 KB...
06 07 2026 15:23:42
Статья в формате PDF
289 KB...
05 07 2026 16:57:54
Статья в формате PDF
630 KB...
04 07 2026 7:20:55
Статья в формате PDF
358 KB...
03 07 2026 4:42:26
Статья в формате PDF
100 KB...
02 07 2026 20:21:21
Статья в формате PDF
131 KB...
01 07 2026 8:46:19
Статья в формате PDF
109 KB...
30 06 2026 13:11:52
Статья в формате PDF
114 KB...
29 06 2026 15:36:29
Статья в формате PDF
124 KB...
28 06 2026 10:41:49
Статья в формате PDF
101 KB...
27 06 2026 12:37:19
Статья в формате PDF
105 KB...
26 06 2026 0:49:11
Статья в формате PDF 114 KB...
25 06 2026 17:23:10
Статья в формате PDF
100 KB...
24 06 2026 17:12:59
Статья в формате PDF
143 KB...
23 06 2026 16:11:17
Статья в формате PDF
298 KB...
22 06 2026 12:25:53
В работе анализируются результаты единого государственного экзамена по физике на примере региональной, а именно, томской выборки по результатам 2003 г. Проведено сравнение единого экзамена по физике и математике, а также вузовского и школьного тура ЕГЭ. Изучается решаемость конкретных заданий частей «А», «В», «С». Результаты исследования должны помочь учителям средних общеобразовательных школ в планировании учебного материала, построении новых методик обучения и, как следствие, в ликвидации пробелов в знаниях учащихся.
...
21 06 2026 13:18:42
Статья в формате PDF
108 KB...
20 06 2026 19:58:57
Статья в формате PDF
111 KB...
19 06 2026 9:28:14
Статья в формате PDF
112 KB...
18 06 2026 2:43:11
Статья в формате PDF
119 KB...
17 06 2026 16:40:51
Статья в формате PDF
87 KB...
16 06 2026 11:41:48
Статья в формате PDF
241 KB...
15 06 2026 17:24:50
Статья в формате PDF
271 KB...
14 06 2026 5:15:37
Статья в формате PDF
257 KB...
13 06 2026 17:57:58
Статья в формате PDF
103 KB...
12 06 2026 18:29:41
Обучение взрослых дипломированных специалистов существенно отличается от обучения студентов. Если на додипломном уровне приемлема педагогическая модель обучения с доминантой обучающего, то на этапе же последипломного образования необходимо руководствоваться продуктивной андрагогической моделью обучения. Её главный постулат: обучающийся – ведущее звено в процессе образования. Исходя из этого, в течение ряд лет мы используем методику психологического типирования личности американского исследователя Д. Кейрси. И на основании выявления уровней подготовки, психофизиологических и личностных особенностей обучающихся пpaктикуем деловые игры, мастер-классы, создание взрослыми обучающимися порт-фолио непосредственно на рабочем месте. Результаты положительные.
...
11 06 2026 23:15:45
Статья в формате PDF
115 KB...
10 06 2026 13:39:31
Статья в формате PDF
122 KB...
09 06 2026 13:23:18
Статья в формате PDF
128 KB...
08 06 2026 4:53:25
Представлена система управления в формализованном виде, что облегчает анализ свойств системы, позволяет намечать пути ее совершенствования.
...
07 06 2026 15:35:59
Статья в формате PDF
123 KB...
06 06 2026 13:42:32
Статья в формате PDF
111 KB...
05 06 2026 2:18:54
Статья в формате PDF
103 KB...
04 06 2026 0:57:12
Статья в формате PDF
106 KB...
01 06 2026 9:40:28
Статья в формате PDF
142 KB...
31 05 2026 9:21:55
Статья в формате PDF
297 KB...
30 05 2026 5:52:23
Статья в формате PDF
93 KB...
29 05 2026 17:11:26
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
