АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1)

где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.

Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:

(2)

где

Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке

почти всюду на отрезке . (3)

Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.

Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть

Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

, (4)

где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:

(5)

При этом справедливы следующие формулы:

(6)

Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].

Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

, (7)

где y_k(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.

Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].

Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:

(8)

С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:

(9)

В уравнении (9) введены следующие обозначения:

Справедливы следующие формулы:

Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

(10)

(11)

Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа

(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.

Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.

ПОДГОТОВКА ТОВАРОВЕДОВ-ЭКСПЕРТОВ И ИЗУЧЕНИЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРОИЗВОДСТВА

Статья в формате PDF 119 KB...

20 01 2026 15:21:48

ИННОВАЦИОННАЯ ПОДГОТОВКА БАКАЛАВРОВ И МАГИСТРОВ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА И ЗАЩИТЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Статья в формате PDF 123 KB...

19 01 2026 2:43:49

СУТОЧНОЕ МОНИТОРИРОВАНИЕ АРТЕРИАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ У БЕРЕМЕННЫХ ЖЕНЩИН В III ТРИМЕСТРЕ БЕРЕМЕННОСТИ

Статья в формате PDF 140 KB...

18 01 2026 20:55:26

НОВЫЙ ОВАЛЬНЫЙ АНКЕРНЫЙ ШТИФТ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗУБОВ ПОСЛЕ ЛЕЧЕНИЯ ЭНДО – ПАРОДОНТАЛЬНЫХ ПАТОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 123 KB...

17 01 2026 0:22:51

Возрастные параметры прироста массы тела бычков симментальской породы при смешанной инвазии фасциолеза и дикроцелиоза в Кабардино-Балкарской Республике

В возрастные периоды от 6 до 9 мес. инвазированные смешанной инвазией фасциолеза и дикроцелиоза бычки симментальской породы пастбищного содержания отставали в приросте массы тела на 9,7 %, в возрасте от 12 до 15 мес. на 12,9 % и в возрасте от 15 до 18 мес. на 15,5 %, что отрицательно влияет на убойные и технологические качества животных. ...

16 01 2026 13:23:33

ПОЛИГЛАНДУЛЯРНАЯ ЭНДОКРИНОПАТИЯ КАК НЕОТЪЕМЛИМЫЙ КОМПОНЕНТ ХРОНИЧЕСКОГО ЭНДОТОКСИКОЗА

Статья в формате PDF 193 KB...

15 01 2026 4:45:51

РАЗВИТИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (РЦ НТТУ)

Статья в формате PDF 109 KB...

14 01 2026 0:16:35

МОДУЛЯЦИЯ ПОРОГА БОЛЕВОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЖИВОТНЫХ С РАЗЛИЧНЫМ ТИПОМ ПОВЕДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕТЕРОЦИКЛИЧЕСКОГО СОЕДИНЕНИЯ РГПУ-195

Статья в формате PDF 101 KB...

13 01 2026 19:15:21

АГРОРЕСУРСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭСПАРЦЕТА И ФАЦЕЛИИ В ЛЕСОСТЕПИ АЛТАЯ

Статья в формате PDF 286 KB...

12 01 2026 9:48:11

ВЛИЯНИЕ НИЗКОИНТЕНСИВНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ ЗДОРОВЬЯ ДЕТЕЙ

Проблема формирования здоровья детей в дошкольных образовательных учреждениях (ДОУ) остаётся актуальной до сих пор. На основе применения низкоинтенсивного лазерного излучения ( НИЛИ) были разработаны способы низкоинтенсивной лазерной реабилитации (НИЛР). В результате НИЛР детей достигались снижение показателей респираторной заболеваемости, экстренной медицинской помощи, госпитализации, временной утраты трудоспособности родителей. Рост среднего показателя здоровья и показателя динамичности здоровья отражали повышение уровня здоровья детей. НИЛР доступна, эффективна и безопасна. ...

11 01 2026 8:54:16

Микологическое и иммунологическое обследование детей с хронической легочной патологией

Статья в формате PDF 103 KB...

10 01 2026 19:49:40

ПРИМЕНЕНИЕ АУТОНЕЙТРОФИЛОКИНОВ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОЙ ИММУНОКОРРЕКЦИИ ПРИ РАНЕВОЙ ХИРУРГИЧЕСКОЙ ИНФЕКЦИИ

Статья в формате PDF 284 KB...

09 01 2026 12:14:44

РАЗРАБОТКА ОНТОЛОГИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗНАНИЯМИ ОРГАНИЗАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОЛОГИИ КОНЦЕПТУАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 170 KB...

08 01 2026 22:23:56

ЧАЙКОВСКИЙ ВИТОЛЬД КАЗИМИРОВИЧ

Статья в формате PDF 327 KB...

07 01 2026 13:40:11

ВЕНТИЛЯЦИОННЫЕ УСТАНОВКИ И КОНДИЦИОНЕРЫ КАК ИСТОЧНИКИ ШУМА

Статья в формате PDF 105 KB...

06 01 2026 15:49:51

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ КОСТНОЙ ТКАНИ У КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА И ЛОСЕЙ ПРИ ИСПЫТАНИИ НА ИЗГИБ ПЯСТНОЙ КОСТИ

Костная ткань обладает целым рядом уникальных физических свойств. Наиболее ценными с производственной точки зрения, представляются только некоторые из них: жесткость, твердость, упругость, эластичность. Наш научный интерес проявился на два основных свойства: жесткость и эластичность. ...

05 01 2026 0:41:31

ИЗУЧЕНИЕ ОКИСЛИТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ МЕТИЛОТРОФНЫХ БАКТЕРИЙ

Статья в формате PDF 351 KB...

04 01 2026 20:57:27

ИСТОРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ХРИСТИАНСТВА

Статья в формате PDF 101 KB...

03 01 2026 21:36:12

МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В СПОРТЕ

Статья в формате PDF 275 KB...

02 01 2026 4:40:30

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА В КузГТУ

Важность разработки и внедрения системы менеджмента качества в вузе отражена и закреплена в ряде приказов Федерального агентства по образованию и обусловлена предстоящим вступлением страны в ВТО и присоединение к Болонскому процессу. В статье описываются алгоритм, этапы деятельности, результаты разработки и внедрения СМК в Кузбасском государственном техническом университете. ...