АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(1)
где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.
Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:
(2)
где
Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке
почти всюду на отрезке . (3)
Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.
Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть
Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
, (4)
где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:
(5)
При этом справедливы следующие формулы:
(6)
Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].
Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
, (7)
где yk(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.
Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].
Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:
(8)
С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:
(9)
В уравнении (9) введены следующие обозначения:
Справедливы следующие формулы:
Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.
Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
(10)
(11)
Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа
(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.
Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
Статья в формате PDF
262 KB...
27 09 2026 22:10:11
Статья в формате PDF
125 KB...
26 09 2026 17:35:15
Статья в формате PDF
139 KB...
25 09 2026 10:41:28
Статья в формате PDF
142 KB...
24 09 2026 15:31:35
Статья в формате PDF
118 KB...
23 09 2026 6:28:20
Статья в формате PDF
103 KB...
22 09 2026 3:51:25
В статье рассматриваются теоретические и пpaктические вопросы модернизации реального сектора экономики России. Исследуются факторы и условия, доказывающие необходимость коренных преобразований в базовых отраслях общественного производства. Раскрываются особенности функционирования реального сектора экономики в рыночных условиях современной социально-экономической системы России. Показывается роль научно-технического прогресса в формировании инновационной модели воспроизводства. Обоснована необходимость проведения действенной государственной промышленной и инновационной политики с целью создания целостной и эффективной национальной инновационной системы; создания системы экономических стимулов для производителей при вовлечении в гражданско-правовой оборот результатов интеллектуальной деятельности и обеспечения государственной поддержки дальнейшего развития национальной инновационной инфраструктуры.
...
21 09 2026 9:44:33
Статья в формате PDF
254 KB...
19 09 2026 6:37:17
Статья в формате PDF
132 KB...
18 09 2026 21:27:46
Статья в формате PDF
251 KB...
17 09 2026 4:41:33
Статья в формате PDF
43 KB...
16 09 2026 9:31:39
Статья в формате PDF
106 KB...
15 09 2026 19:50:15
Статья в формате PDF
119 KB...
14 09 2026 13:18:37
Статья в формате PDF
401 KB...
13 09 2026 6:10:50
Статья в формате PDF
125 KB...
12 09 2026 1:12:54
Статья в формате PDF
111 KB...
10 09 2026 10:42:45
Статья в формате PDF
85 KB...
08 09 2026 13:34:31
Статья в формате PDF
303 KB...
07 09 2026 0:27:46
Статья в формате PDF
134 KB...
06 09 2026 18:26:11
Проведен сравнительный спектральный анализ биоэлектрической активности головного мозга по данным электроэнцефалографии (ЭЭГ) и индукционной магнитоэнцефалографии (МЭГИ) пациентов с хронической формой ишемической нейрооптикопатии и глаукомой. Выявлен ряд особенностей, хаpaктеризующих наличие данных видов патологий у исследуемых, проявляющихся десинхронизацией работы полушарий, а так же повышением амплитуды спектральной оценки определенных частотных диапазонов МЭГИ и ЭЭГ. У пациентов с ишемической нейрооптикопатией выявлены признаки усиления тонуса адренорецепторов артериальных сосудов, а так же увеличение амплитуды медленных электрических потенциалов. Наличие глаукомы хаpaктеризовалось усилением тонус адренорецепторов гладкой мускулатуры, а так же ослаблением парасимпатического тонуса вегетативной нервной системы. Сравнительный анализ не показал статистически значимых отличий показателей МЭГИ и ЭЭГ.
...
05 09 2026 13:56:34
Статья в формате PDF
59 KB...
04 09 2026 6:10:32
Статья в формате PDF
396 KB...
03 09 2026 18:25:33
Статья в формате PDF
265 KB...
02 09 2026 21:17:16
Статья в формате PDF
255 KB...
01 09 2026 7:57:27
Статья в формате PDF
122 KB...
31 08 2026 10:29:36
Статья в формате PDF
110 KB...
30 08 2026 3:25:17
Статья в формате PDF
90 KB...
29 08 2026 0:51:56
Статья в формате PDF
117 KB...
28 08 2026 5:54:56
Статья в формате PDF
99 KB...
27 08 2026 9:40:40
Статья в формате PDF
115 KB...
24 08 2026 13:58:25
Одной из наиболее актуальных проблем современности является проблема обеспечения населения качественной питьевой водой. Для решения проблемы деффицита воды Прикаспийского региона в 1989 году был построен водовод «Астpaxaнь-Мангышлак», общей протяженностью 1041 км который берет свое начало из протоки Кигач, расположенной в дельте р. Волга. Биотестирование на дафниях в исходной воде и в воде, трaнcпортируемой по водоводу показало, что процент погибших дафний по сравнению с контролем составляет в зимний период 14%, а в весенний – 20%. В летний период процент погибших дафний явлется наиболее выским – 31,8% и к осени этот показатель снижается до 23,8%. Эти значения меньше 50%, то есть в соответствии с п.3.1.5 РД – 118-02-90 тестируемая вода не оказывает острого токсического действия на дафний.
...
23 08 2026 7:41:13
Статья в формате PDF
110 KB...
22 08 2026 21:44:18
Статья в формате PDF
125 KB...
21 08 2026 3:14:58
Статья в формате PDF
117 KB...
20 08 2026 11:56:32
Цель статьи — выявление закономерностей влияния топографических и почвенных условий прирусловых территорий на прострaнcтвенную структуру видового состава трав и продуктивность пойменных лугов.
...
19 08 2026 6:58:59
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
