АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(1)
где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.
Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:
(2)
где
Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке
почти всюду на отрезке . (3)
Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.
Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).
Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть
Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
, (4)
где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:
(5)
При этом справедливы следующие формулы:
(6)
Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].
Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
, (7)
где yk(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.
Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].
Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:
(8)
С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:
(9)
В уравнении (9) введены следующие обозначения:
Справедливы следующие формулы:
Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.
Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
(10)
(11)
Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа
(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.
Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
- Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
Статья в формате PDF
123 KB...
07 05 2026 9:18:29
Статья в формате PDF
104 KB...
05 05 2026 17:41:35
Статья в формате PDF
107 KB...
04 05 2026 15:17:55
Статья в формате PDF
121 KB...
03 05 2026 3:59:14
Статья в формате PDF
119 KB...
02 05 2026 23:20:52
Статья в формате PDF
115 KB...
01 05 2026 1:30:15
Статья в формате PDF
116 KB...
30 04 2026 16:58:12
Для исследования вариаций параметров живых существ, обитающих в биосфере в разных широтных регионах, в частности экваториальных, построена модель экваториального электроджета, основанная на численном решении дифференциальных уравнений второй степени для потенциала, вызванного прострaнcтвенным зарядом.
...
29 04 2026 1:55:45
Статья в формате PDF
262 KB...
28 04 2026 10:34:44
Статья в формате PDF
411 KB...
27 04 2026 18:23:23
Впервые было изучено интерлейкина – 8 – 251 ТА среди женщин Азербайджана больными эндометриозом. 50 пpaктически здоровых и 70 женщин больных эндомертиозом находились под нашем наблюдением. Исследование показали что, генетический полиморизм интерлейкина – 8 А/Т 251 играет роль в потогенезе эндометриоза.
...
26 04 2026 15:46:41
Статья в формате PDF
218 KB...
25 04 2026 6:36:52
Статья в формате PDF
113 KB...
24 04 2026 0:13:11
Статья в формате PDF
125 KB...
23 04 2026 18:46:55
Статья в формате PDF
287 KB...
21 04 2026 1:10:12
Статья в формате PDF
279 KB...
19 04 2026 6:36:38
Статья в формате PDF
115 KB...
18 04 2026 18:15:11
Статья в формате PDF
114 KB...
16 04 2026 6:10:30
Статья в формате PDF
144 KB...
14 04 2026 22:10:51
Статья в формате PDF
121 KB...
13 04 2026 18:48:32
Статья в формате PDF
87 KB...
11 04 2026 19:14:35
Статья в формате PDF
126 KB...
10 04 2026 4:18:59
Статья в формате PDF
108 KB...
09 04 2026 9:36:13
Статья в формате PDF
104 KB...
07 04 2026 12:20:40
Статья в формате PDF
111 KB...
05 04 2026 22:56:45
Статья в формате PDF
280 KB...
04 04 2026 7:35:44
Статья в формате PDF
99 KB...
03 04 2026 19:27:11
В обобщенной (негамильтоновой) механике найдены новые уравнения, описывающие физические явления. Рассмотрены системы многомерных линейных дифференциальных уравнений, возникающие из естественных условий на 8 и 16-мерные многообразия над неассоциативными моноидами. Сформулировано несколько теорем и предположений о структуре и общих свойствах интегрируемых негамильтоновых систем вихревого гидродинамического типа. Скорость распространения гравитации u = 7.9904.10 17 см/c. Скорость распространения состояния инерции приблизительно v = 4.8875.10 35 см/c. Масса – очередной флогистон позитивистской физики. Обнаружено несколько листов гравитации.
...
02 04 2026 11:58:32
Статья в формате PDF
117 KB...
01 04 2026 1:47:41
Статья в формате PDF
286 KB...
31 03 2026 0:39:20
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
