АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Авторы
Файлы

Митрохин С.И. Статья в формате PDF 190 KB

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1)

где λ - спектральный параметр, функция q(x) называется потенциалом.

Дифференциальное уравнение (1) мы будем рассматривать вместе с граничными условиями следующего вида:

(2)

где

Мы будем предполагать, что потенциал является суммируемой функцией на отрезке

почти всюду на отрезке . (3)

Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) задают дифференциальный оператор с суммируемым потенциалом.

Для изучения асимптотики собственных значений краевых задач, связанных с дифференциальным оператором (1)-(2), необходимо знать асимптотику решений дифференциального уравнения (1).

Пусть - некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием . Пусть - корни десятой степени из единицы, то есть

Числа находятся на единичной окружности и делят её на десять равных частей, причём

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

, (4)

где - произвольные постоянные, - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), причём при справедливы следующие асимптотические разложения:

(5)

При этом справедливы следующие формулы:

(6)

Идею разложения вида (5) мы изложили в главе 5 монографии [1].

Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n=2, другой метод был продемонстрирован в работе [2].

Теорема 2. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

, (7)

где y_k(x,s) (k=1,2,...,10) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) при условии , - определитель Вронского этих решений: , при этом несложно доказать, что не зависит от x.

Из формулы (7) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). При этом получатся формулы (4)-(5)-(6) теоремы 1. Для дифференциального оператора четвёртого порядка это было проделано автором в работе [3].

Подставляя формулы (4)-(5)-(6) в граничные условия (2), приходим к выводу, что верно следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет следующий вид:

(8)

С помощью свойств определителей доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Уравнение (8) имеет следующий вид:

(9)

В уравнении (9) введены следующие обозначения:

Справедливы следующие формулы:

Методами работ [1] и [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2)-(3) в первом секторе индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

(10)

(11)

Формулы, аналогичные формулам (10)-(11), для краевых задач типа

(1)-(2)-(3), получены автором и для случаев дифференциальных операторов шестого и восьмого порядков.

Формул (10) и (11) достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. - Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИЗМЕНЕНИЙ ДЕФИНИТИВНОЙ СТРУКТУРЫ СЕЛЕЗЕНКИ НА ФОНЕ ХРОНИЧЕСКОЙ АЛКОГОЛЬНОЙ ИНТОКСИКАЦИИ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ И У ЧЕЛОВЕКА

Статья посвящена актуальной проблеме – влиянию хронической алкогольной интоксикации на изменение морфоструктуры селезенки. Дана сравнительная гистологическая хаpaктеристика соединительно-тканного каркаса и белой пульпы селезенки у животных в эксперименте и у человека. Представлены дегенеративные изменения гистологической структуры селезенки. ...